Una manera de hacerlo, es tomar el "paso a paso".
Al contar los números en base $10$$0$$(10^n-1)$, usted encontrará que hay un número igual de los números con al menos un dígito $k$ para cualquier dígito de$1$$9$.
Así que si usted tiene todos los números entre el$0$$(10^n-1)$, entre los dos, usted puede calcular cuántos de ellos contienen al menos un dígito $k$ de su elección usando una recursividad de los siguientes:
$$X_{n}=9X_{n-1}+10^{n-1}$$
Por ejemplo;
$X_{1}=9\times0+10^0=1$
$X_{2}=9\times1+10^1=19$
$X_{3}=9\times19+10^2=271$
$X_{4}=9\times271+10^3=3439$
$X_{5}=9\times3439+10^4=40951$
$\dots$
Podemos aplicar esta propiedad para el rango de $43523 - 93107$ a contar todos los números con al menos un dígito $7$, ajustando un poco.
Para cualquier número en general con cualquier dígito $k$ , tenemos que contar los números hasta el $10^n-1$ primero que hay $X_n$, y, a continuación, proceder a la cuenta "dígito por dígito".
Escribir el número objetivo como esta $x_1x_2x_3\dots$ cuando la $x$s son sus dígitos.
Podemos contar o sumar para cada uno de los dígitos, en función de uno de los pocos casos;
- Añadimos $10^m$ si contamos los números con dígitos $k$ y un dígito
$k$ está contenida dentro de las cifras anteriores.
- Añadimos $(x_1-1)\times X_m$ si nuestro dígito es $k\le x_1$
- Añadimos $(x_1-2)\times X_m + 10^m$ si nuestro dígito es $k>x_1$
Repetimos esta operación para $x_2, x_3\dots$ todos los dígitos.
($m$$x_1$ igual a $n$ y, a continuación, para $x_2, x_3 \dots$ igual a $n-1, n-2 \dots$)
No te preocupes si no entiendes lo que quiero decir, voy a mostrar ahora lo que acabo de decir en el ejemplo:
Primero debemos contar el número de enteros con los dígitos $7$ formulario $0$$43523$;
$X_4+(4-1)\times X_4 +X_3+(3-1)\times X_3+X_2+(5-1)\times X_2+X_1+(2-1)\times X_1+0=$
$3439+3\times 3439+271+2\times 271 +19+4\times 19 +1 +1\times 1+0=$
$14666$
El de la $93107$;
$X_4+(9-2)\times X_4 +10^4+X_3+(3-1)\times X_3+X_2+0+1=$
$ 3439+7\times3439+10000+271+2\times271+19+0+1=$
$38345$
Luego restamos $38345-14666$
Y tenemos que hay $23 679$ enteros con al menos un dígito $7$, cuando al mirar los números enteros entre el$43523$$93107$.