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Cuántos números enteros de 43523 a 93107 contener al menos un dígito 7

Cuántos números enteros de $43523$ $93107$contienen los dígitos $7$ al menos una vez?

Sé que si teníamos $43000$$93000$, se le resta enteros que no contienen dígitos $7$ del número total: $50000 - (5\times9\times 9\times 9 \times 9)$

Pero ¿cómo hacerlo con los números dados?

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Shabaz Puntos 403

Primera idea: si desea que el número de algo de $42523$ a través de $93107$, puede ser más fácil contar los de $0$ a través de $93107$ y restar los de $0$ a través de $42522$. Deje $N(n)$ el número de números de hasta el $n$ que contienen al menos un $7$. Desea $N(93107)-N(43522)$. Ayuda a agregar un prefijo a los números con cero, por lo que todos los números tienen cinco dígitos. Segunda idea: $N(93107)$ consiste de todos los números que comienzan con $7$, $70000$ a través de $79999$, además de todas las demás, que contengan por lo menos un $7$. Para los que comienzan con $0$ a través de $8$ $8$ veces más que en los cuatro números de dos dígitos que contienen al menos un $7$. Esto sugiere un algoritmo recursivo. Os dejo el problema que desea que sólo algunos de los números que comienzan con $9$. La idea es la misma.

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Matta Puntos 169

Una manera de hacerlo, es tomar el "paso a paso".


Al contar los números en base $10$$0$$(10^n-1)$, usted encontrará que hay un número igual de los números con al menos un dígito $k$ para cualquier dígito de$1$$9$.

Así que si usted tiene todos los números entre el$0$$(10^n-1)$, entre los dos, usted puede calcular cuántos de ellos contienen al menos un dígito $k$ de su elección usando una recursividad de los siguientes:

$$X_{n}=9X_{n-1}+10^{n-1}$$

Por ejemplo;

$X_{1}=9\times0+10^0=1$
$X_{2}=9\times1+10^1=19$
$X_{3}=9\times19+10^2=271$
$X_{4}=9\times271+10^3=3439$
$X_{5}=9\times3439+10^4=40951$
$\dots$

Podemos aplicar esta propiedad para el rango de $43523 - 93107$ a contar todos los números con al menos un dígito $7$, ajustando un poco.


Para cualquier número en general con cualquier dígito $k$ , tenemos que contar los números hasta el $10^n-1$ primero que hay $X_n$, y, a continuación, proceder a la cuenta "dígito por dígito".

Escribir el número objetivo como esta $x_1x_2x_3\dots$ cuando la $x$s son sus dígitos.

Podemos contar o sumar para cada uno de los dígitos, en función de uno de los pocos casos;

  • Añadimos $10^m$ si contamos los números con dígitos $k$ y un dígito $k$ está contenida dentro de las cifras anteriores.
  • Añadimos $(x_1-1)\times X_m$ si nuestro dígito es $k\le x_1$
  • Añadimos $(x_1-2)\times X_m + 10^m$ si nuestro dígito es $k>x_1$

Repetimos esta operación para $x_2, x_3\dots$ todos los dígitos.

($m$$x_1$ igual a $n$ y, a continuación, para $x_2, x_3 \dots$ igual a $n-1, n-2 \dots$)

No te preocupes si no entiendes lo que quiero decir, voy a mostrar ahora lo que acabo de decir en el ejemplo:


Primero debemos contar el número de enteros con los dígitos $7$ formulario $0$$43523$;

$X_4+(4-1)\times X_4 +X_3+(3-1)\times X_3+X_2+(5-1)\times X_2+X_1+(2-1)\times X_1+0=$
$3439+3\times 3439+271+2\times 271 +19+4\times 19 +1 +1\times 1+0=$
$14666$

El de la $93107$;

$X_4+(9-2)\times X_4 +10^4+X_3+(3-1)\times X_3+X_2+0+1=$
$ 3439+7\times3439+10000+271+2\times271+19+0+1=$
$38345$

Luego restamos $38345-14666$

Y tenemos que hay $23 679$ enteros con al menos un dígito $7$, cuando al mirar los números enteros entre el$43523$$93107$.

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