Puede un número tiene un uncountably cantidad infinita de dígitos?

Question

Soy una extrema matemática laico, así que disculpen la probable la ignorancia y torpe a la redacción de esta pregunta.

Hay tal cosa como un tipo de número que tiene un uncountably cantidad infinita de dígitos después del punto decimal?

Para dar un ejemplo de lo que quiero decir, dicen que esos números que existen y vamos a llamar a uno de ellos S. Los dígitos de S son tales que todos los rnº lugar (y rn puede ser cualquier número real positivo) corresponde a la primera cifra decimal del pecado(rn).

El 0 lugar de de S es 0. Lo que sigue son infinitamente muchos ceros hasta que el dígito lugar que corresponde al pecado^-1(.1) se alcanza, y el dígito de ese lugar, obviamente, será 1. Mucho tiempo después de eso, el .5to lugar es de 4, la .61999th lugar es de 5, el 1er lugar es 8, el enésimo lugar es 0, el 6000π/e-ésimo lugar es 7.

Así, S tendrá un lugar aburrido patrón de repetición de 0.000...111...222...333..., volviendo finalmente a 0 en el enésimo lugar y, a continuación, ciclismo de nuevo.

Otro número puede ser C, que tiene una norma similar, pero la rnº lugar corresponde al primer decimal de cos(rn) en su lugar. C vería 1.999...777 888..., y así sucesivamente.

Conozco a S y C no pueden ser números reales (si estas pueden ser considerados números a todos), debido a que la cardinalidad de un número real dígitos es igual al conjunto de los números naturales. La cardinalidad de los dígitos de S y C es igual al conjunto de los números reales.

Ahora, es todo esto sólo inútil mumbo-jumbo, escondiéndose detrás de los puntos suspensivos? Suponiendo que no lo es, ¿qué sería de la cardinalidad del conjunto de todos estos extraños números como S y C? Sería mayor que el conjunto de todos los números reales?

Answer 1

Decimal representaciones de un número es sólo una representación - es decir, es una forma de especificar un número, dando una cierta cantidad de información sobre ella.

En el caso de los números reales o complejos, ya que no son estrictamente de más de $\aleph_0$, muchos de ellos, necesitará $\aleph_0$ (countably-infinito)-el número de dígitos para describir a un arbitrario real/número complejo. Del mismo modo, para los números racionales, ya que hay $\aleph_0$, muchos de ellos, sólo se necesita un número finito de dígitos para especificar cualquier número racional (tenga en cuenta que la no terminación de los números racionales deben repetir sus dígitos, por lo tanto, usted sólo necesita saber los dígitos hasta la primera repetición).

Existen estructuras matemáticas (campos, anillos, espacios vectoriales, grupos) que tienen cardinalidad mayor que $|\mathbb{R}|$, en cuyo caso usted necesitará por lo menos $|\mathbb{R}|$-el número de dígitos para especificar un elemento de la estructura.

Véase, por ejemplo:

http://mathoverflow.net/questions/44705/cardinalities-larger-than-the-continuum-in-areas-besides-set-theory

Answer 2

Un número puede ser visto como una secuencia infinita de dígitos (o bits, si se escribe en binario). En otras palabras, es un infinito palabra sobre el alfabeto $\{0, \dotsm, 9\}$ (o $\{0, 1\}$ si se escribe en binario).

Ahora, una teoría de palabras a través de los números ordinales y incluso las palabras más lineal órdenes que se ha propuesto en [1]. Dado un alfabeto finito $A$ y un conjunto totalmente ordenado $I$, una palabra $(a_i)_{i \in I}$ es simplemente una función de$I$$A$. Habitual finito de palabras son las palabras indexadas por finito ordenamientos $I = \{1,2,...,n\}$. Un infinito palabra es una palabra más de $I = \mathbb{N}$, pero se puede definir palabras sobre $\mathbb{R}$ si usted desea.

Esta definición y los principales resultados acerca de estas palabras pertenecen a la teoría de autómatas, que es probablemente lo que usted está buscando, pero puede tener un "uncountably cantidad infinita de dígitos" de esta manera.

[1] A. Bès y O. caja de Cartón, Un teorema de Kleene de idiomas de palabras indexadas por lineal de orden, Int. J. Encontrado. Comput. Sci., vol. 17, no. 3, pp 519-542, 2006.

Answer 3

Si desea que cada elemento de su campo de $F$ a ser representado por una única secuencia $\alpha \rightarrow \mathbb{N}$ (donde $\alpha$ es el número de dígitos que usted lo requiera), su cardenal debe ser $2^{\alpha}$.

A mí me parece que el campo de la surrealista números con la fecha de nacimiento de $< \omega_1$ podría satisfacer su condición. Su cardinal es $(2^{\aleph_0})^{\aleph_1} = 2^{\aleph_1}$. No sé si es stricly mayor que $2^{\aleph_0}$.

Answer 4

Un incontable suma no convergen en un estándar sentido de la palabra. Deje $\{a_j: j \in J\}$ donde $J$ I innumerables índice: Definir $K_n:=\{ a_k \in a_j : a_k >1/n\}$. Entonces, por una cardinalidad argumento, uno de los conjuntos de $K_n$ tendrá infinitamente de muchos términos, y la infinita suma $\sum K_n > 1/n+ 1/n +\cdots$ van a divergir. Así que debe haber una contables índice más allá de que todos los términos debe ser cero, a menos que usted tenga una noción de convergencia.