¿Por qué podemos usar el algoritmo de la división para $x-a$?

Question

En el Teorema 5.2.3 en estas notas, se dice que

Desde $x − a$ ha líder coeficiente de $1$, que es una unidad, podemos usar el Algoritmo de la División...

¿Por qué es esto cierto? Pensé que el Algoritmo de la División es sólo garantiza el trabajo en Euclidiana dominios no cualquier integrante de dominio.

Gracias.

Answer 1

Para polinomios sobre cualquier coeficiente de anillo, los estudiantes de la escuela polinómica algoritmo de la división de obras para dividir con el resto, por cualquier monic polinomio, yo.e cualquier polinomio $\rm\:f\:$ cuyo coeficiente inicial $\rm\:c =1\:$ (o de una unidad), ya que $\rm\:f\:$ monic implica que el líder plazo de $\rm\:f\:$ divide mayor grado monomials $\rm\:x^k,\ k\ge n = deg\ f,\:$ por lo que el algoritmo de la división de obras para matar a todos los términos del grado en el dividendo, dejando un resto de grado $\rm < n = deg\ f.$

El algoritmo de la división generalmente no se si $\rm\:f\:$ no es monic, por ejemplo, $\rm\: x = 2x\:q + r\:$ no tiene ninguna solución para $\rm\:r\in \mathbb Z,\ q\in \mathbb Z[x],\:$ desde la evaluación en $\rm\:x=0\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:r=0,\:$ la evaluación en $\rm\:x=1\:$ $\Rightarrow$ $\:2\:|\:1\:$ en $\mathbb Z\:$ $\Rightarrow\Leftarrow$ Aviso de que la misma prueba funciona en cualquier coeficiente de anillo de $\rm\:R\:$ que $2$ no es una unidad (invertible). Por el contrario, si $2$ es una unidad en $\rm\:R,$ dice $\rm\:2u = 1\:$ $\rm\:u\in R,\:$ luego de la división es posible: $\rm\: x = 2x\cdot u + 0.$

Sin embargo, se puede generalizar el algoritmo de la división para la no-monic caso de la siguiente manera.

Teorema (nonmonic División de polinomios Algoritmo) $\ $ Deje $\,0\neq F,G\in A[x]\,$ ser polinomios sobre un anillo conmutativo $A,$ $\,a\,$ = plomo coef de $\,F,\,$ $\, i \ge \max\{0,\,1+\deg G-\deg F\}.\,$
$\qquad\qquad \phantom{1^{1^{1^{1^{1^{1}}}}}}a^{i} G\, =\, Q F + R\ \ {\rm for\ some}\ \ Q,R\in A[x],\ \deg R < \deg F$

Prueba de $\,\ $ Si $\ \deg G < \deg F\,$ a continuación, vamos a $\, Q = 0 ,\ R = a^i G.\, $ Más que nos introducirá en $\,\deg G.\,$ Deje $\, k = \deg F,\,$ $\,\deg G = k+j\,$ $\, j \geq 0.\,$ División de $\,G,F\,$ a $ $ llevar $\color{#c00}+$ resto $ $ términos:

$\begin{array}{lrl} \ G = b x^{k+j\!}\color{#c00} + G',\ \deg G'<k\!+\!j\!\!\!\!\!\! &\Rightarrow\quad aG\!\!\!\! &=\,abx^{k+j}+aG'\\ \ F = a x^k\color{#c00}+F',\quad \deg F' \!< k & bx^jF\!\!\!\! &=\, abx^{k+j}+bx^jF'\\ \qquad\ a,b\neq 0\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! & aG-bx^jF\!\!\!\! &=\, aG'-bx^jF'\ \ {\rm has\ \ deg} < k\!+\!j \end{array}$

$\begin{array}{lrl}{\rm Therefore,\ \ by\ \ induction} &a^j(aG-bx^jF) =&\!\!\! Q F + R\ \ {\rm for}\ \ Q,R\in A[x], \ \deg R < k\\ &\Rightarrow\quad a^{j+1} G\, =&\!\!\! \bar QF + R\ \ {\rm for}\ \ \bar Q = Q\!+b(ax)^j\end{array}$

Comentario $\ $ Alternativamente, si localizaciones son conocidos, se puede dividir por el monic $\,a^{-1} F\in A[a^{-1}][x]\,$ luego de retirada el resultado a $\,A[x].$

Answer 2

Ese es el punto realmente. No está garantizado que funcione para CADA polinomio en el ring $R[x]$ que se trata, pero funcionará para algunos polinomios, y el polinomio $x-a$ no es nunca un problema. Un polinomio de la forma $ax +b$ $a$ un no-unidad de $R$ podría causar un problema. Para tratar de forma explícita con $x-a$ y un polinomio $p(x) \in R[x]$, podemos trabajar por inducción sobre el grado de $p(x).$ Supongamos que esto es $n > 1$ y podemos escribir los polinomios de grado $n-1$ en la forma esperada (tenga en cuenta que cuando se $p(x) = cx+d$ tiene el grado $1,$ tenemos $cx+d = c(x-a) + (ac+d)$, la cual se inicia la inducción). Ciertamente, podemos escribir $p(x) = xq(x) + r$ para algunos polinomio $q(x) \in R[x]$ grado $n-1$ y algunos $r \in R.$ Por supuesto, podemos escribir $q(x) = (x-a)s(x) + t$ donde $s(x)\in R[x]$ tiene el grado $n-1$$t \in R$. Por el bien de espacio omito algunos pasos, pero a continuación, puede ver que $p(x) = (x-a) [xs(x) + t ] + (at+r).$