La probabilidad de entero aleatorio de dígitos sumar a 12

Question

¿Cuál es la probabilidad de que un entero aleatorio entre 1 y 9999 tendrá dígitos que se suma a los 12?

Como un usuario sugirió, yo podría hacer una hoja de cálculo y el número de ellos, pero hay una forma más rápida para hacer esto?

Answer 1

El problema no requiere de una hoja de cálculo. Incluso no requiere de papel.

La pregunta es contar el número de enteros tuplas $\langle a,b,c,d\rangle$$a+b+c+d=12$$0\le a,b,c,d < 10$. Podríamos enumerar esta eligiendo $a$ y luego contar las tuplas $\langle b,c,d\rangle$$b+c+d = 12-a$, y recursing, pero un método más sencillo está disponible.

En primer lugar, tenga en cuenta que si dejamos caer el $a,b,c,d < 10$ restricción, el problema es fácil. Por las estrellas y las barras de método, hay $\binom{15}{12} = 455$ tuplas que suma 12.

A partir de estos 455 necesitamos eliminar de las que contienen $10, 11,$ o $12$. Deje $t_i$ el número de tuplas donde$a =i$$i\in\{10,11,12\}$. Claramente, $t_{12} = 1$: la única tupla es $\langle 12, 0,0,0\rangle$. Para $a=11$ necesitamos $b+c+d=1$, por lo que exactamente uno de $b,c,d$ es 1 y los otros dos son 0, y por lo tanto $t_{11} = 3$.

Para $a=10$ hay dos posibilidades. Cualquiera de las $\{b,c,d\} = \{2,0,0\}$ o $\{b,c,d\} = \{1,1,0\}$. En cualquier caso hay 3 tuplas, por lo $t_{10} = 6$.

Ya que en la mayoría de los una de $a,b,c,d$ es mayor que 9, el número total de tuplas que contienen 10, 11, o 12 $4(t_{10}+t_{11}+t_{12}) = 40$.

Así, el número total de tuplas de sólo el 0 hasta el 9, y la respuesta a la pregunta, es 455 - 40 = 415; la probabilidad es $\frac{415}{9999}$.

Answer 2

Uso de funciones de generación. La generación de la función de un solo dígito es:

$$1 + x + \cdots + x^9 = \frac{1-x^{10}}{1-x}.$$

La generación de la función de la suma de cuatro dígitos es el cuarto poder:

$$\frac{(1-x^{10})^4}{(1-x)^4} = (1-x^{10})^4 (1-x)^{-4}.$$

Para resolver el problema, encontrar el coeficiente de $x^{12}$.

$$(1-x^{10})^4 = 1 -4 x^{10} + 6 x^{20} - \cdots$$

Así, sólo se necesitan los coeficientes de $x^2$ $x^{12}$ $(1-x)^{-4}$ el uso de la generalizada del teorema del binomio. Estas son las $\binom{5}{2} = 10$$\binom{15}{12} = 455$. El coeficiente de $x^{12}$ es por lo tanto

$$ -4\cdot10 + 1\cdot455 = 415.$$

Así que la respuesta es $\frac{415}{9999}$.

Answer 3

Con código de Mathematica (DE 1 A 9999):

Count[Map[Total, IntegerDigits[Range[9999]]], 12]

415

Así: 415/9999

Answer 4

Sólo así la BRECHA no se quedan fuera. He aquí una BRECHA de la versión para obtener el recuento:

Number([1..9999],n->Sum(ListOfDigits(n))=12);

que devuelve 415. Así, la probabilidad es $415/9999$.

Answer 5

Con PARI/GP código

Q(n)=if(n<10,n,n%10 + Q(n\10))

sum(i=1,9999,Q(i)==12)/9999

Puedo obtener $$\frac{415}{9999}.$$