Cómo (des)probar que esta matriz es simétrica P. S. D.?

Question

para dos random $n$-vectores $(X_1,X_2)$ definir

$$f(X_1,X_2)=\text{med}((X_1+X_2)^2)-\text{med}((X_1-X_2)^2)$$

Ahora definir la matriz $U$ con entradas

$$U_{ij}=\frac{n}{4}f(X_i,X_j)$$

Basado en un gran número de simulaciones por ordenador utilizando muchos casi colineales matrices $X=(X_1,\ldots,X_p)\in\mathbb{R}^{n\times p}$$n>p=100$, he llegado a sospechar que si los miembros de $X$ son, en general, la posición lineal, a continuación, $U$ es P. S. D..

Para poner el asunto al resto, estoy tratando de probar esta afirmación (o encontrar un contraejemplo). Mi pregunta es ¿cómo lo harías atacar este problema?

He estado tratando de demostrar que $U$ es diagonalmente dominante (es fácil mostrar que $U_{ii}>U_{ij}\forall i\neq j$, pero no he sido capaz de hacer ningún tipo de declaración sobre la suma de los valores absolutos de los elementos de la diagonal).

Answer 1

(Esto es demasiado largo para un comentario.) No tengo una respuesta a tu pregunta. Todo lo que puedo decir es que su conjetura no es cierto en general. Para un contraejemplo, considere el caso donde $n=3,\,p=2$ y $$ (X_1, X_2) = \begin{bmatrix} 1+\varepsilon&1-\varepsilon\\ 1-\varepsilon&1+\varepsilon\\ 1-\varepsilon&1-\varepsilon \end{bmatrix} $$ donde $\varepsilon>0$ es un número pequeño. Entonces \begin{align*} f(X_1,X_1) &= f(X_2,X_2) = 4(1-\varepsilon)^2,\\ f(X_1,X_2) &= 4 - 4\varepsilon^2 = 4(1-\varepsilon^2) \end{align*} y el resultado de la $U$ tiene un negativo determinante y, por tanto, no es positivo semidefinite.

Sin embargo, este contraejemplo no generalizar bien para el mayor $n$$p$, y su declaración de que tal vez es cierto en un abrumador número de casos por algunas buenas razones estadísticas, pero estoy totalmente desorientado sobre ellos.