Símbolos de Christoffel ¿Solución de igualdad?

Question

Cambiaron el ejercicio, así que intenté resolverlo de nuevo:

Tengo que demostrar lo siguiente:

Dejemos que $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$ ser abierto y $g$ un campo métrico en $\Omega$ . Para cada $\phi \in \mathrm{Diff}(\Omega)$ dejar $\Xi^i_{jk}[\phi]$ sean funciones sobre $\Omega$ que se transforman de la misma manera que los símbolos de Christoffel $\Gamma^i_{jk}[\phi]$ $$ \Xi^i_{jk}[\phi](y) = \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Xi^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y). $$ Supongamos que para cada $y_0 \in \Omega$ hay un $\phi_0 \in \mathrm{Diff}(\Omega)$ tal que $\Xi^i_{jk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) = 0$ y $(\partial_a g_{bc})[\phi_0](\phi_0(y_0))=0$ . Mostrar $\Xi^i_{jk}[\phi] =\Gamma^i_{jk}[\phi]$ para todos $\phi \in \mathrm{Diff}(\Omega)$ .

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Aquí está mi intento:

Lo definimos:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y) := \Xi^i_{\,jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y)$

Así vemos que esto se transforma como un Tensor:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y)= \Xi^i_{jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y) = \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Xi^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y) \bigg)- \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Gamma^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y)\bigg) = \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y))$

Ahora vemos que para un par dado $y_0$ , $\phi_0$ :

$\Gamma^i_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))=\frac{1}{2} g^{il}(\partial_k g_{lk} + \partial_j g_{lk} - \partial_l g_{jk})[\phi_0](\phi_0(y_0))= \frac{1}{2} g^{il}\left(\partial_k g_{lk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) + \partial_j g_{lk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) - \partial_l g_{jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))\right)=0$

Así que para $y_0$ y $\phi_0$ :

$T^{i}_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) := \Xi^i_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))=0$

Así,

$\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi_0(y_0)) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi_0(y_0)) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](\phi_0^{-1}(\phi_0(y_0)))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi_0^{-1}(\phi_0(y_0)))= \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi_0(y_0))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi_0(y_0)) \left({(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](y_0)}\right)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(y_0)\overset{!}{=}0$

Ahora mi GRAN pregunta es: ¿puedo decir eso? Porque $T^{i}_{\,jk}$ es un tensor:

$(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](y_0)\overset{???}{=}0$

Porque SI es así entonces el ejercicio se vuelve trivial ya que: $T^{i}_{\,jk}[\phi](\phi(y_0))=\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi(y_0))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi(y_0)) \overset{\underbrace{=0}}{\left({(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](y_0)}\right)}\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(y_0)=0$

para todos $\phi\in Diff(\Omega)$ y hemos terminado

Si no es así, mi antigua prueba/idea no se sostiene de todos modos y no tengo ninguna otra pista sobre cómo superar el problema...

Answer 1

Por fin he conseguido una solución que no implica ninguna suposición que no se diera en el enunciado de la tarea, ¿tiene sentido para vosotros?

Lo definimos:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y) := \Xi^i_{\,jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y)$

Así vemos que esto se transforma como un Tensor, por lo tanto es un Tensor:

$T^{i}_{\,jk}[\phi](y)= \Xi^i_{jk}[\phi](y) - \Gamma^i_{\,jk}[\phi](y) = \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Xi^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y) \bigg)- \bigg(\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) \Gamma^r_{pq}[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y)) + \frac{\partial y^i}{\partial x^m} (\phi^{-1}(y)) \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^j \partial y^k}(y)\bigg) = \frac{\partial x^p}{\partial y^j}(y) \frac{\partial x^q}{\partial y^k}(y) (\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](\phi^{-1}(y))\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(\phi^{-1}(y))$

Ahora tenemos que para nuestro dado $y_0$ y $\phi_0$ :

$\Gamma^i_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))=\frac{1}{2} g^{il}(\partial_k g_{lk} + \partial_j g_{lk} - \partial_l g_{jk})[\phi_0](\phi_0(y_0))= \frac{1}{2} g^{il}\left(\partial_k g_{lk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) + \partial_j g_{lk}[\phi_0](\phi_0(y_0)) - \partial_l g_{jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))\right)=0$

Ahora toma cualquier $y_0$ y cualquier difeomorfismo $\phi\in \operatorname{Diff}(\Omega)$ :

$T^{i}_{\,jk}[\phi_0](\phi(y_0))=\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi(y_0))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi(y_0)) {\left({(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](y_0)}\right)}\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(y_0)$

Por el enunciado de la tarea siempre podemos encontrar un $\phi_0$ tal que:

$T^{i}_{\,jk}[\phi_0](\phi_0(y_0))=0=\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi_0(y_0))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi_0(y_0)) {\left({(\Xi^r_{pq}-\Gamma^r_{\,pq})[\mathrm{id}](y_0)}\right)}\frac{\partial y^i}{\partial x^r}(y_0)$

para cada $y_0\in\Omega$ .

Ya que para cualquier difeomorfismo tenemos que

$\frac{\partial x^p}{\partial y^j}(\phi(y))\frac{\partial x^q}{\partial y^k}(\phi(y))\neq 0$

Vemos que la parte transformada que es invariante bajo cualquier $\phi\in \operatorname{Diff}(\Omega)$ es la que mapea a cero, concluimos para todo $\Omega$ :

$T^i_{jk}[\phi]=\Xi^i_{jk}[\phi]-\Gamma^i_{jk}[\phi]\overset{\forall \phi}{=}0$ $$\Rightarrow \Xi^i_{jk}[\phi]=\Gamma^i_{jk}[\phi]$$

$\blacksquare$