¿A qué nos referimos cuando hablamos de condensación Bose? ¿Y por qué los fermiones no pueden condensarse si no se emparejan?

Question

En los libros de texto habituales, se nos dice que los bosones pueden condensarse en un estado de una sola partícula debido a la estadística de Bose y que cuando el sistema sufre una condensación de Bose, el operador de campo de Bose obtiene un valor de expectativa del estado base (GSEV) distinto de cero. Aparentemente, este estado base no puede ser un estado conservado por la partícula, de lo contrario el valor de expectativa para el operador de campo de bose debe ser cero. Entonces, ¿es este operador de campo GSEV no nulo la característica principal de Condensación Bose ?

Para los fermiones, todos sabemos que los fermiones no apareados no pueden condensarse debido al principio de exclusión de Pauli. Pero parece que el operador de campo fermi también puede obtener un GSEV no nulo si el estado base de algún sistema "extraño" es la superposición de un estado fermión cero y un estado fermión (es decir $|GS\rangle =\prod_{\alpha}u_{\alpha} |0\rangle_{\alpha}+v_{\alpha}|1\rangle_{\alpha}$ , donde $\alpha$ es el índice del estado de una sola partícula). Esto me resulta extraño. Nunca he visto una situación así en la literatura. ¿Puede existir este extraño estado base? Y si existe, ¿implica este GSEV no nulo algún tipo de condensación?

Answer 1

La característica que define a un condensado de Bose es que la matriz de densidad de un cuerpo $$ \rho^{(1)}(\mathbf{r},\mathbf{r}^{\prime}) = \langle \Psi^{\dagger}(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r}^{\prime})\rangle,$$ tiene al menos un valor propio que es macroscópicamente grande, es decir, es de orden $N$ con $N$ el número de partículas del sistema. Aquí, $\Psi(\mathbf{r})$ es el operador de campo que describe las partículas en cuestión. En los sistemas fermiónicos, la condición correspondiente es que la matriz de densidad de dos cuerpos $$\rho^{(2)}_{s_1s_2s_3s_4}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_4) = \langle \Psi^{\dagger}_{s_1}(\mathbf{r}_1)\Psi^{\dagger}_{s_2}(\mathbf{r}_2)\Psi_{s_3}(\mathbf{r}_3)\Psi_{s_4}(\mathbf{r}_4)\rangle,$$ donde $s$ indexa las variables de espín, tiene al menos un valor propio macroscópico.

En la gran mayoría de las situaciones concebibles, incluyendo casi todos los experimentos que se han realizado $^{\ast}$ el número de partículas se conserva estrictamente. Por lo tanto, es fundamentalmente incorrecto para afirmar que el operador de campo obtiene un valor de expectativa del estado básico (GSEV) no nulo en general. Asignar un GSEV distinto de cero al operador de campo es sólo un útil truco de cálculo que conduce rápidamente a la física observable. El inconveniente, por supuesto, es que también conduce a todo tipo de confusión conceptual. Por lo tanto, aunque la presencia de un GSEV distinto de cero implica algún tipo de condensación, lo contrario no es en absoluto cierto.

Normalmente, el término condensado se reserva para los sistemas de muchos cuerpos en equilibrio térmico. El estado planteado por la OP estaría prohibido por las reglas de superselección en casi todos los modelos concebibles de fermiones. Además, es un estado puro de pocas partículas y, por tanto, no satisface los criterios normales de un condensado.

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$^{\ast}$ Recientemente se ha empezado a experimentar con sistemas más exóticos como condensados de fotones donde no hay ninguna regla de superselección que haga cumplir la conservación de las partículas.