Dominios integrales, de tal manera que todos los anillos de factor apropiados son finitos

Question

Deje que $ \mathbb Z$ ser el anillo de números enteros racionales. Si $a \in\mathbb Z$ es un elemento no cero, entonces el anillo de factor $ \mathbb Z/(a)$ es finito y tiene orden $|a|$ . Si $ \mathbb Z[i]$ es el anillo de números enteros gausianos y $w \in\mathbb Z[i]$ no es cero, también tenemos que $ \mathbb Z[i]/(w)$ es finito y tiene orden $w \bar w=N(w)$ es decir, la norma de $w$ .

Sospecho que esto es cierto para cualquier anillo de números enteros algebraicos en un campo numérico (en el caso de que el anillo sea euclidiano). ¿Estoy en lo cierto?

Otra pregunta: ¿Existe alguna clasificación (o nombre) para los dominios integrales $D$ que satisfacen la propiedad que por no ser cero $a \in D$ el anillo de factor $D/(a)$ es finito? Creo que todos los anillos de números enteros algebraicos (incluyendo los no euclidianos) en un campo numérico satisfacen esta propiedad. ¿Es esto cierto?

Answer 1

Tales anillos se llaman finito residualmente o anillos con el norma finita propiedad. Se han estudiado, por ejemplo, véase el documento que se examina a continuación.

Levitz, Kathleen B.; Mott, Joe L.
Anillos con propiedad de norma finita.
Canadá. J. Math. 24 (1972), 557--565.

Deje que $A$ ser un anillo con $A^2 \ne 0 ,$ y $A^+$ el grupo de aditivos de $A$ . Si cada imagen homomórfica no nula de $A$ es finito, entonces $A$ se dice que es un anillo con propiedad de norma finita (anillo FNP). K. L. Chew y S. Lawn estudiaron los anillos de FNP con identidad, que llamaron anillos residuales finitos [mismo J. 22 (1970), 92--101; MR0260773 (41 #5396)]. En el documento bajo revisión, los autores extienden los resultados de Chew and Lawn a anillos arbitrarios de FNP. También prueban lo siguiente resultados:

$(1)\ $ Si $A$ es un anillo FNP entonces $A^+$ es torsión y limitado, o sin torsión y reducido, o sin torsión y divisible. De aquí en adelante, $A$ será un dominio integral conmutativo con $1$ y con cociente campo $K$ .

$(2)\ $ Que L sea una extensión finita de $K$ Si $A$ es un anillo del FNP, entonces también lo es cada anillo intermedio de $L/A$ .

$(3)\ $ Deje que $A'$ ser el cierre integral de $A$ en $K$ Entonces.., $A$ es un anillo FNP si y sólo si $A'$ es un dominio de Dedekind y $A_P$ es un El anillo FNP para cada ideal máximo $P$ .

$(4)\ $ Deje que $K$ ser de características $0,$ entonces, cada subgrupo de $A$ es un anillo FNP iff $K$ es una extensión finita del campo de la ciencia racional números.

$(5)\ $ Deje que $K \ne A$ ser de primera característica; entonces, cada subgrupo de $A$ es un anillo FNP iff $K$ es una extensión finita de algunos $F(x),$ donde está el campo principal de $K$ y $x$ es trascendental sobre $F$ .

Reseña de H. Tominaga (AMS MR 45 #6872)