Cómo mostrar $\ell^2_p$ no isométrica a $\ell^2_{p'}$ si $p\in\{1,2,\infty\}$?

Question

Deje $\ell^n_p$ denotar $\mathbb{R}^n$ $p$- norma; suponga $n>1$. Ahora es bien sabido que para $p\ne q$, $\ell^n_p$ y $\ell^n_q$ nunca isométrica a menos $n=2$$\{p,q\}=\{1,\infty\}$, pero me di cuenta recientemente que en realidad no saben cómo demostrarlo.

Puedo demostrar que la mayoría de es - el único caso, todavía tengo que descartar en el caso de las $n=2$ $q=p'$ ( $\frac{1}{1-1/p}$ ). Ahora, por supuesto, de hecho es posible que $q=p'$, debido a $p$ $2$ (por lo $p=q$) o $1$ o $\infty$ (el único caso excepcional). Pero el problema entonces es que muestra que $p$ debe ser en realidad uno de esos tres.

Además puedo demostrar que si existe una isometría, entonces, después de la aplicación de una traducción y algunos firmado permutación de la matriz, debe ser $\lambda R$ donde $\lambda=2^{1/p-1/2}=2^{1/2-1/p'}$ $R$ es la rotación por $\pi/4$. Así que en realidad todo lo que necesitamos hacer es, dado $p\notin \{1,2,\infty\}$, para encontrar un punto de $v$ tal que $||\lambda R v||_{p'}\ne ||v||_p$.

Ahora, la representación de las cosas, podemos ver que, de hecho, cualquier punto que no está en los ejes o líneas de $y=\pm x$ va a trabajar; pero no sé cómo demostrarlo aún por un solo punto especificado, incluso, dicen, $(1,2)$, debido a que la ecuación resultante para $p$ (asumiendo $p\ne 1,\infty$, por supuesto) es absolutamente terrible, y el intento de, digamos, determinar cuando cada lado es mayor por la diferenciación parece solo empeorara las cosas.

Anexo Nov 21: tal vez debería señalar - obviamente, el punto puede variar con $p$, pero no tengo idea de cómo determinado $p$ uno podría elegir un punto específico que hace que sea más fácil de probar, sobre todo porque, después de todo es verdad para casi cualquier punto!

Entonces, ¿cómo es que este caso se manejan? Y está ahí por casualidad un mejor enfoque de que me estoy perdiendo?

Answer 1

Parece que han solucionado este en su propio con "manos", pero lo que quería señalar algunas de las conexiones que este problema tiene con un poco más general de los conceptos de espacio de Banach teoría. Es un poco triste que a nadie se le ha señalado que estas cosas aún, pero no es de extrañar; espacio de Banach teoría no parece ser muy popular en la matemática de Internet. (Sospecho que si habías publicado este problema en Mathoverflow, un par de personas que iban a votar a cerca de como "muy especializado" fuera de su propia ignorancia, y luego se ha ido fuera a escribir las respuestas a mucho más simple, mucho más específico que los problemas en la geometría algebraica.) En lo que sigue escribo $\ell^p$, por lo que han escrito $\ell^n_p$; la supresión de la dependencia de la $n$ dado que claramente puede ser determinado a partir de la dimensión.

Una manera de distinguir a estos espacios con el módulo de convexidad. Para $X$ un espacio de Banach, el módulo de la convexidad de $X$ es la función de $\delta_X: (0,2] \to [0,1]$ dada por $$ \delta_X(\epsilon) = \inf \{1 - \frac{1}{2} \|x+y\|: x, y \in X, \|x\|=\|s\|=1, \|x-y\| \geq \epsilon\}. $$ (No hay total acuerdo en esto; usted verá los datos codificados de forma ligeramente diferente en la literatura. Por ejemplo lo que he escrito es lo que algunas personas llamarían $\delta_X(\epsilon/2)$, y que se definen sólo por $\epsilon \in (0,1]$. Mantenga sus ojos abiertos.) Es evidente a partir de la definición que el módulo de la convexidad es invariante bajo isomorfismo isométrico, es decir, si $X$ $Y$ son espacios de Banach y hay un isomorfismo isométrico $f: X \to Y$, $\delta_X = \delta_Y$ funciones $(0,2]$.

Para calcular el módulo de convexidad para $\ell^p$, ir y probar Hanner la desigualdad de $\ell^p$. Para $p \in [1,2]$ este es el comunicado $$ \|x+y\|_p^p + \|x-y\|_p^p \geq (\|x\|_p + \|s\|_p)^p + | \|x\|_p - \|s\|_p|^p, \qquad x, y \in \ell^p, $$ y para $p \in (2, \infty)$ la desigualdad se invierte. Hay varios agradable pruebas de Hanner la desigualdad en la literatura--- Hanner original de la prueba es bastante sencillo, aunque tal vez no la más sencilla. Mi consejo sería la búsqueda de Matemáticas de las Críticas en una prueba que esté a su gusto.

Un poco de trabajo, que omito, muestra que Hanner la desigualdad determina completamente el módulo de convexidad para $\ell^p$, en el que se puede escribir una fórmula real para él. Y una vez hecho eso, ver que los diferentes $p$s te dan diferentes módulos de la convexidad. (Para $p \geq 2$ es algo como $1 - (1 - (\epsilon/2)^p)^{1/p}$; $p \in [1,2)$ la fórmula es más simple escrito con $\delta$ como un "implícito" de la función de $\epsilon$.) Los detalles están en Hanner del original en papel, "En la convexidad uniforme de $L^p$$\ell^p$", si usted no desea proporcionar usted mismo. (Para recuperar la $p$ a partir de la fórmula de la $[2, \infty)$ de los casos, usted puede mirar en el valor en $\epsilon = 1$, por ejemplo, y el uso de cálculo para mostrar que esto es estrictamente decreciente en a $p$. O usted podría mirar en el límite de la segunda $\epsilon$-derivado $\epsilon$ enfoques $0$; creo que es una constante en varios de $(p-1)$. En cualquier caso esto la distingue de todas las $\ell^p$ $p \in [2, \infty)$ el uno del otro, y hacer el cálculo de $p \in [1,2)$ puede terminar el trabajo en una manera similar.)

Si usted lee sobre el módulo de la convexidad puede ver que tiene una interpretación geométrica (se cuantifica en algún sentido "cómo convexo" la unidad de la bola de $X$) y contiene muchas de las ideas que fueron, probablemente, llegar con un enfoque ad hoc.

Este problema también se resuelve en Banach del libro de texto (la Teoría de los operadores lineales), creo que, de otra manera. No tengo el libro conmigo en el momento, pero la idea es que cualquier secuencia $(x_k)_{k=1}^{\infty}$ $\ell^p$ que converge a $0$ tiene una larga $(x_{k_j})_{j=1}^{\infty}$ con la propiedad de que la función de $n \mapsto \|\sum_{j=1}^n x_{k_j}\|$$O(n^{1/p})$, y si usted piensa acerca de esto el tiempo suficiente, esto puede ser utilizado para distinguir el $\ell^p$ el uno del otro. Hay una más moderna o de alta tecnología que resume esta idea para un invariante define de un modo más general, en espacios de Banach (por ejemplo, se pueden distinguir las $\ell^p$ a partir de los índices de "Rademacher tipo" y "Rademacher cotype").

Answer 2

He aquí una idea, aunque no tengo tiempo para probarlo: dibujar líneas en ángulos de múltiplos de $\frac{\pi}{4}$ desde el origen tanto de la unidad de círculos que estás investigando y calcular la curvatura en los correspondientes puntos de intersección. Si usted puede demostrar que la curvatura no coinciden, la correspondiente unidad de los círculos no pueden ser relacionados por una escala y rotación.

Answer 3

Elemental, con la participación de la tercera mixto derivadas parciales muestra que una isometría en la forma dada en la pregunta sólo es posible con la $p=q=2$.

Suponga $1< p,\ q < \infty$$1/p + 1/q = 1$. Suponga también que existe una isometría de la forma, es decir, una media de rotación de $\pi/4$$(\mathbb R^2,\|\ \|_p)$$(\mathbb R^2,\|\ \|_q)$. A continuación, la matriz correspondiente sería $A = \lambda'\left(\matrix{1 & 1\\1 & -1}\right)$ para algunos escalares $\lambda'$. De ello se sigue que $$|x|^p + |y|^p = \lambda ''(|x + y|^q + |x - y|^q)^{p/q}$$ para algunas constantes $\lambda''$.

Si calculamos¹ la mezcla de terceros derivado $\frac {\partial^3}{\partial x \partial y^2}$ de ambos lados, en el punto de $(1,0)$, después de las simplificaciones, obtenemos

$$0 = (-2+q) (-1+q)+\left(-1+\frac{p}{q}\right) (-1+q) q.$$

This plus the assumptions on $p$ and $p$ gives us that the unique solution is $p=2$ and $q =2$.

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¹ con la ayuda de Mathematica:

D[((x + y)^q + (x - y)^q)^(p/q), x, y, y] /. {x -> 1, y -> 0}