Contabilidad de un determinado conjunto

Question

Supongamos que $S$ es un conjunto totalmente ordenado tal que para cualquier $x,y\in S$ hay un número finito de elementos entre ellos. ¿Se deduce que $S$ es (como máximo) contable?

Parece que la respuesta debería ser afirmativa, pero no se me ocurre ninguna prueba.

Answer 1

Sí.

Para comprobarlo, hay que tener en cuenta que si fijamos $x\in S$ , entonces para cada $y\in S$ la cardinalidad del intervalo $[x,y]$ (si $x<y$ ) o $[y,x]$ (si $y<x$ ) determina de forma única $y$ . Utilizando este hecho podemos construir fácilmente una incrustación de $S$ en $\Bbb Z$ .

Además, si $S$ es infinito, entonces o es isomorfo a los enteros positivos, o a los enteros negativos, o a los enteros.

Answer 2

Incluso se puede decir más, de hecho. Exactamente una de las siguientes cosas debe sostenerse:

• $S$ es finito.
• $S$ es de orden isomorfo a los enteros positivos.
• $S$ es de orden isomorfo a los enteros negativos.
• $S$ es de orden isomorfo a los enteros.

Para demostrarlo, deberá proceder por casos. Si $S$ es finito, entonces hemos terminado, por lo que podemos suponer que $S$ es infinito. Si $S$ tiene un elemento mínimo, por ejemplo $x,$ entonces cualquier $y\in S$ está determinada de forma única por el número de elementos de $S$ entre $x$ y $y$ (inclusive). Esto nos permite desarrollar fácilmente un isomorfismo con los enteros positivos. Si $S$ no tiene ningún elemento menor, pero tiene un elemento mayor, digamos $x,$ entonces, por un razonamiento similar, encontramos que $S$ es de orden isomorfo con los enteros negativos. Si $S$ no tiene ni el menor ni el mayor elemento, entonces fija cualquier $x\in S.$ Razonando como arriba, el conjunto de $y\in S$ menos de $x$ puede demostrarse que son de orden isomorfo a los enteros negativos; los mayores de $x,$ a los enteros positivos, y así $S$ es de orden isomorfo a los enteros. Sólo queda justificar por qué $S$ no puede tener un elemento menor y mayor si es infinito, lo cual es simple.