Número de 11 dígitos del número de longitud con todos los 10 dígitos y no consecutivos mismo dígitos

Question

Aquí está la pregunta:

De cuántas maneras se puede construir un 11 dígitos cadena larga que contiene todos los 10 dígitos sin 2 consecutivos mismos dígitos.

Inicialmente, se me ocurrió con $10!9$. Pensé que no se $10!$ formas de construir el número de 10 dígitos con los 10 dígitos. Y puedo añadir un dígito más al final de cada número en $9$ maneras.

Sin embargo, he encontrado que puede equivocado. Porque yo cuando se aplica la misma regla a número de 4 dígitos con 3 dígitos(0,1,2), la respuesta es no $3!2$. Por ejemplo, no contiene $1210, 2120, 0102, ...$

Así que la forma de abordar este problema?

Answer 1

Todos sus deseado cadenas tienen un dígito que se produce dos veces, mientras que los otros se producen una vez. Así que aquí es un método para obtener todas esas cadenas:

1. Coloque todos los diez dígitos en un diez por una cadena de dígitos. Esto se puede hacer en $10!$ maneras.
2. Elegir un dígito a ser el repetido dígitos. Esto se puede hacer en $10$ maneras.
3. Elija una posición en los diez dígitos de la cadena desde el paso $1$ para la inserción repetida de dos dígitos. Los diez dígitos de la cadena de ha $11$ lugares para insertar, pero $2$ de ellos están próximos a los mismos dígitos, por lo que hay $9$ permitido lugares para insertar el dígito.

Insertar el dígito en la posición en los diez dígitos de la cadena nos da un margen de once dígitos de la cadena. Sin embargo, tenemos el doble cómputo de cada once dígitos de la cadena, ya podemos insertar el otro la aparición de los repetidos dígitos. Así que debemos dividir nuestro conteo de dos.

Nuestro recuento final es entonces

$$\frac{10!\cdot 10\cdot 9}2=163,296,000$$

En su cheque de $4$dígitos cadenas con $3$ dígitos, que sería

$$\frac{3!\cdot 3\cdot 2}2=18$$

Una rápida comprobación de que en MS Excel confirma que es correcto. (Para el $4$-cadenas de dígitos: incluso Excel no manejar fácilmente más de cien millones de líneas!)

Answer 2

Usted tiene que repetir exactamente un dígito.

Así, en primer lugar elija el dígito que se repite (cuántas posibilidades?), a continuación, elija donde los dos dígitos ir en el número (cuántas posibilidades?), y, finalmente, elegir el orden para el resto de las $9$ dígitos (cuántas posibilidades?)

(La respuesta es $163,296,000$.)

Answer 3

Cómo muchos de repetición de dígitos $1$? Hay $\frac{11!}{2}$ pedidos total $10!$ de los que tienen tanto $1$'s juntos (poner el dos a $1$'s juntos formando un solo objeto). Por lo tanto, hay $\frac{11!}{2}-10!=\frac{9\cdot10!}{2}$ que repetir dígitos $1$, lo que implica que hay $\frac{10\cdot9\cdot10!}{2}=5\cdot9\cdot10!$ total.