La función zeta tiene una infinidad de ceros en $0<\Re{s}<1/2$?

Question

El siguiente párrafo que aparece en la página 42 del libro Racional de la Teoría de números en el Siglo 20: el De PNT para FLT (Par Wladyslaw Narkiewicz):

El hecho de que la tira de $0<\Re{s}<1/2$ contiene una infinidad de ceros de la zeta-función de la siguiente manera a partir de la fórmula para el número de ceros acostado en el rectángulo $0<\Re{s}<1/2$, $0<\Im{s}<T$, conjeturó por Riemann y establecido por H. von Mangoldt en 1895: $$N(T)=\frac{1}{2\pi}T\log\left(\frac{T}{2\pi}\right)-\frac{T}{2\pi}+R(T)$$ with $R(T)=O(\log^2T)$.

(imagen de la página)

No en contradicción con la hipótesis de Riemann?

Answer 1

Mirando algunas otras fuentes, parece que para ser una errata: debe ser "$0<\Re s<1$" no "$0<\Re s<1/2$", es decir, el número de ceros en la crítica de la tira.

De hecho, el no-trivial de los ceros de la de Riemann Zeta función de producirse fuera de la crítica de la tira, por lo que esta restricción es superfluo decir, la fórmula que da el número de ceros en $0 <\Im s<T$. Es en esta forma que la Wikipedia y Mathworld el estado de Riemann-von Mangoldt fórmula. Técnica de fuentes se pueden encontrar en ambos enlaces.

Answer 2

Sí, si fuera correcta, la hipótesis de Riemann sería falso. Definitivamente se trata de un error tipográfico, sin embargo. Se puede ver, por ejemplo, aquí, de una manera bastante detallada de la prueba; baste decir que no se puede hacer nada para cortar la región de validez abajo de manera efectiva, debido a la difícil naturaleza de la $\zeta$-función del comportamiento en la crítica de la tira.