El primer divisores de $60!$

Question

Cómo encontrar todos los primos divisores de $60!$?, donde $60!$ denota el factorial de $60$, el producto de todos los enteros de$1$$60$.

Existe alguna solución para resolver esto? Gracias.

Answer 1

Desde $60!$ es sólo el producto de la primera $60$ números naturales de manera que la única números primos que dividiría $60!$ son aquellos que son más pequeños de lo $60$.

Prueba de declaraciones que se utilizan.

$1$. Sólo los números primos que dividen a $60! $ son menores de $60$, no prime mayor que $60$ puede dividir $60!$.

Digamos que una prime ($p$) que es mayor que $60$ divide $60!$. Ahora $60!$ es producto de la primera $60$ consecutivos de números naturales como $1.2.3.4.5......60$ y lo que estamos diciendo es que el $p|1.2.3.4.5......60$. Ahora un número primo sólo pueden dividir en sí mismo y en sus múltiples y desde nuestra privilegiada $p$ es mayor que $60$ así que no hay nada en $1.2.3.4.5......60$ $p$ se puede dividir. Una contradicción.

$2$. Todos los números primos menores que $ 60$ brecha $60!$.

Es muy fácil de demostrar, como $60!=1.2.3.4.5......60$, por lo que cada primer menor que $60$ $1.2.3.4.5......60$ y por lo tanto todos los primos menores que $60$ brecha $60!=1.2.3.4.5......60$

:) :)

Answer 2

Recuerde: si $n$ es un entero positivo, entonces $n!$ es divisible por todos los positivos primos menos de $n$. En este caso, eso significa que $2, 3, 5, 7, \ldots, 59$.

Ahora, usted necesita para encontrar las distintas primer divisores? Si es así, estás listo. Si usted también necesita contar con qué frecuencia cada divisor primo se produce, tiene un poco de trabajo que hacer. Es tedioso, pero no difícil. Observar:

• $2! = 2$
• $3! = 2 \times 3$
• $4! = 2 \times 3 \times 4 = 2^3 \times 3$. Observar que, desde $4 = 2^2$, tenemos que añadir $2$ el (anteriormente no escritas) exponente $1$ que $2$ tenía.
• $5! = 2^3 \times 3 \times 5$. Desde $5$ es primo, se puede seguir a través de los anteriores de la factorización de anexar el "$\times 5$" al final.
• $6! = 2^4 \times 3^2 \times 5$. Desde $6$ es divisible por $2$$3$, tenemos que el incremento de los exponentes tanto de los números primos.
• $7! = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7$. Desde $7$ es primo, se puede seguir a través de los anteriores de la factorización de anexar el "$\times 7$" al final.
• ...
• $60! = 2^{56} \times 3^{28} \times 5^{14} \times 7^{19} \times \ldots \times 47 \times \times 53 \times 59$.

En realidad, ahora que lo pienso, creo que hay una fórmula que le dará el exponente de cada primer, sin tener que ir a través de esta "ingeniería inversa" de la factorial. Así que sí, hay una solución a este problema, más de uno de ellos, de hecho.

Answer 3

Sugerencia: $60!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 60$.

Es fácil ver que 2 es un divisor primo, 3, 5, 7, ... todos los números primos hasta el 60.

Answer 4

Tres simples observaciones deben tomar esta muy evidentes:

1) Si $k < n$$n! = 1*2*.....*(k-1)*k*.......n$$k|n!$. Así que todos los números primos menos de $60$ será factores primos de a $60$.

2) Si $p$ es primo, y $p > k$$p \not \mid k$. Así que si $p > n$ $p \not \mid k$ cualquier $k \le n$.

3) $n! = \prod_k^n k = \prod_k^n (\text{unique prime factorization of }k)$ $n!$ tiene como factores primos sólo los mismos factores primos de la $k \le n$.

.....

Por lo tanto, 1) todos los números primos menores o iguales a $60$ será factores y 2) no hay números primos mayores que $60$ será factores. La pregunta más interesante es ¿cuál es la factorización prima de $60!$. Usted ¿ tiene suficiente información para resolver eso.