¿Qué $\frac{1}{n}$ convergen?

Question

¿Qué hace la secuencia de $n=1$ hasta el infinito convergen a para $\dfrac{1}{n}$ y ¿cómo puedo demostrarlo?

Entiendo que como $n$ se hace más grande, la fracción se hace más pequeño, pero, ¿cómo puedo encontrar el valor exacto converge?

Answer 1

No está claro cuánto formal de la prueba de la experiencia que usted tiene, por lo que podría ayudar a presentar una informal (no epsilons!) argumento.

Para cada elemento $\frac 1 n$ en la secuencia, $\frac 1 n > 0$. Así que si la secuencia converge debe converger a un número $\geq 0$. Ahora elegir cualquier número $0 < x \leq 1$. Por lo suficientemente alto n $x > \frac 1 n$. Así que si la secuencia converge, (1) no puede converger a cualquier número de $< 0$ y (2) no puede converger a cualquier número de $> 0$. Por lo que converge a 0.

Un profesor podría no estar completamente satisfecho con esto y vete "espera, ¿cómo sabes que converge en todo", pero es bastante simple de demostrar que converge a algo de lo que ya tenemos.

EDIT: MJD criado en los comentarios para que esto no excluye que la convergencia a un número negativo, el argumento, tal y como está vale si usted reemplace $0$ con, digamos, $-17$. Podemos rellenar el argumento como este: Elige cualquier número negativo $-s$. Ya que cada número de la secuencia es positivo, la distancia entre el $nth$ elemento y $-s$$|s + \frac{1}{n}| > \frac{s}{2} \forall s,n$. Si la secuencia nunca viene dentro de$s/2$$-s$, no puede converger a $-s$. Desde $-s$ fue arbitraria, esto se cumple para todos los números negativos.

Answer 2

Recordar una secuencia $\{ x_n \}$ converge a $x$, $x_n \to x$ si dado cualquier $\epsilon > 0$, entonces podemos encontrar una $N \in \mathbb{N}$ que si $n > N$,$|x_n -x | < \epsilon$.

Ahora, en cuanto a tu problema, el reclamo es que el $x_n = \frac{1}{n} \to 0 $. Para mostrar esto, supongamos $\epsilon > 0$. Ahora, queremos encontrar a $N$ tal que si $n > N $,$|\frac{1}{n} - 0| < \epsilon $. bueno, aviso

$$ |\frac{1}{n} - 0| = |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n} < \epsilon \iff n > \frac{1}{\epsilon} $$

Así, es evidente que debemos tomar $N > \frac{1}{\epsilon} $. Con esta opción, entonces

si $n > N$, $\frac{1}{n} < \epsilon \implies |\frac{1}{n}| < \epsilon$.

Así que, por definición, $\frac{1}{n} \to 0 $

Answer 3

Converge a$0$, ya que para cualquier $\epsilon > 0$, podemos encontrar $N$ tal que $1/N < \epsilon$. Así, por $n > N$ tenemos $|1/n - 0| < 1/N < \epsilon$.

Answer 4

Sin $ε$ definición .

Deje $x_n=\frac {1}{n}$.A continuación, $x_n$ es estrictamente decreciente debido a $n+1>n<=>\frac {1}{n+1}<\frac {1}{n}<=>x_{n+1}<x_n$. Ahora,vamos a $A=${$x_n$} el conjunto de la secuencia de términos.Podemos ver que $0$ es un límite inferior de $A$.Todo lo que tenemos que hacer es demostrar que $0$ es el infimum de $a$ ($infA=0$). Tenga en cuenta que el infimum existe porque $A$ es menor limitada.

Supongamos (por contradicción) de que hay un $x>0$ tal que $x=infA$.Esto significa que cada término de la secuencia $x_n$ mayor que la de $x$. Pero :

Si $x$ es racional, entonces $x=\frac {m}{n}$ $(m,n)=1$ y no puedo encontrar un plazo $x_{mn}=\frac {1}{mn}<\frac {m}{n}<=>\frac {1}{m}<m$.

Por lo $x$ no es un racional.

Así que es un número irracional.En su escritura decimal tenemos que $x=0,\underbrace {000...00}a....$ $a\neq 0$ $k$ underbraced ceros.A continuación, el valor del piso $$\frac {[x\cdot 10^k]}{10^k}=\frac {a}{10^k}<x$$ and the term $$x_{a\cdot 10^l}<x$$. So $x$ no puede ser irracional.

Así que no hay ningún número real que puede hacer el trabajo. Por lo $0$ es el infimum y por lo tanto $\frac {1}{n}\to 0$.

Answer 5

Uno puede fácilmente demostrar que $\frac 1n$ $0$ $n$ va grande, pero es igualmente posible que la suma de estas fracciones divergen. La siguiente es la prueba de que la suma de la diferencia que debe existir.

Considere los conjuntos de $1$, e $\frac 12$ $\frac 13 ,\frac 14$ $\frac 15 \frac 16 \frac 17 \frac 18$ y así sucesivamente, cada conjunto de acabar en una potencia de dos. Puesto que cada conjunto se compone de fracciones mayores que la última, la suma de cada conjunto es mayor que la media (ie $1+ \frac 12+\frac 24 + \frac 48 \dots$.

El total debe entonces ser más grande que $1+\log_2(n)/2$. Por ejemplo, los conjuntos de arriba agregar a algo más de $1+\frac 32 = 1+\frac{\log_2(8)}2$.

Una de cal asimismo colocar un límite superior, debido a que cada conjunto es menor que el de plomo fracción, por lo que tenemos $1+1/2+2/2+8/4\dots$, lo que significa que es menos de $2 \log_2(n)-1/2$.

Uno puede, por supuesto refinar los límites. Por ejemplo, $\frac 13+\frac 14 = \frac 7{12}$. Desde la mitad de cada período de juego es mayor que $\frac 13$ que puede sustituir a $\frac 6{12}$$\frac 7{12}$. amd imcrease del límite inferior $\frac {11}{12}+\frac{7}{12}\log_2(n)$. Del mismo modo que el límite superior es igualmente reducido porque estamos incluyendo $3\cdot 2^n$ en la serie. El inicial es el factor de reducción debido a que el primer set $\frac 12$ no está subdividida en menos de 3 y mayor que 3. Por lo que su multiplicador sería todavía $\frac 6{12}$, pero la transferencia de una unidad de la $1$ a ello.

El límite superior se puede establecer teniendo en cuenta que la función es convexa de arriba. Supongamos que usted ha $a \le x \le b$. Luego, si se demuestra que $\frac 1x$ es menor que el punto en la línea entre el$\frac 1a$$\frac 1b$, podemos utilizar multiplicar el límite superior por el poder por $\frac 34$, y progresivamente floser valores más iteraciones se realizan.

Conviene señalar que algo como $\pi$ fue calculado por recorrer en el polígono inscrito a través de$2^n 3$, sucesivamente, de un gran $n$.