Ayudar a entender una relación entre las probabilidades de los dados los resultados y el número de elementos de un hipercubo

Question

He encontrado una curiosa conexión entre las probabilidades de los dados los resultados y el número de elementos de un hipercubo y yo no puedo hacer sentido de ella.

Yo estaba tratando de calcular las probabilidades de contraer $0,1,..,x$ tres al rodar $x$ (hipotético) de 3 caras de los dados, es decir, al rodar 5 3 caras de los dados, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de ellos de la tierra en grupos de tres, etc.

El (AFAICT correcta) las probabilidades son (para 0,1,2,3,4,5 tres respectivamente):

• 1 dados - $2/3$, $1/3$
• 2 dados - $4/9$, $4/9$, $1/9$
• 3 dados - $8/27$, $12/27$, $6/27$, $1/27$
• 4 dados - $16/81$, $32/81$, $24/81$, $8/81$, $1/81$
• 5 dados - $32/243$, $80/243$, $80/243$, $40/243$, $10/243$, $1/243$

Compararlo con el número de elementos en x-dimensional del cubo (de la wikipedia):

• 1-cubo - 2 vértices, 1 borde
• 2-cubo - 4 vértices, 4 bordes, 1 cara
• 3-cubo - 8 vértices, 12 aristas, de 6 caras, 1 celda
• 4-cubo - 16 vértices, 32 de los bordes, de 24 caras, 8 células, 1 4-cara
• 5-cubo - 32 vértices, 80 bordes, 80 caras, 40 de las células, de 10 de 4 caras, 1 5-cara

Esto continúa como mínimo a 10 dados/dimensiones. Lo mismo sucede con las 2 caras de dados (aka monedas) y la hiper-tetraedro.

¿Por qué las probabilidades de sacar un cierto dados cara $y$ número de veces en $x$ dados coincidir con un número de elementos de una $x$-dimensional de la forma como ese?

Answer 1

En realidad, la conexión es muy fuerte: es un isomorfismo.

El resultado de la tirada de $n$ $r$-se enfrentan los dados es un $n$-tupla, con los componentes de valor que van desde la $1$$r$, lo que también definir un $n$-(hiper)cubo con lados $1, \cdots, r$.
Entonces resultado = punto de $(r,r,x,\cdots,x)$, por ejemplo, es una cara de la dimensión $n-2$, etc.

Por supuesto, esto significa que la "etiqueta" de cada una de las $n$ a los dados, y de la misma manera que tenga en cuenta el orden en los resultados.

Ver también este post. para algunas otras aplicaciones.

Answer 2

Al menos puedo explicar las tres primeras columnas.

Los acontecimientos que estamos considerando son los resultados de lanzar $x$ mueren, que a su vez puede ser escrito como una tupla $v \in\{0,1,2\}^x$ (aquí, voy a considerar su 'tres' como una de dos).

La probabilidad de contraer $0$ s con $x$ morir

Para nuestro caso son las tuplas en $\{0,1\}^x$, que son exactamente los vértices de la $x$-dimensiones hipercubo.

La probabilidad de contraer $1$ s con $x$ morir

Supongamos que $v$ se encuentra en este evento y en su primera coordenada es la que la igualdad de $2$, lo $v$ puede ser escrito como $v = 2\mid\mid u$ donde $u\in\{0,1\}^{x-1}$, podemos hacer un mapa de esta tupla a la orilla de la $x$-dimensional del cubo que une los vértices $0\mid\mid v$$1\mid\mid v$. Este es un bijective correspondencia entre nuestro evento, y el conjunto de aristas.

La probabilidad de obtener 2 dos con $x$ muere

Procedemos de la misma manera, esta vez las dos coordenadas que la igualdad de $2$ determinar las "esquinas" de la cara mapa de nuestra tupla.

Answer 3

Usted puede ver esto como una "coincidencia" que se explica por:

El número de $m$ caras de una $n$-cubo es: $$2^{n-m}\binom{n}{m}$$, como se explica en wikipedia.

La probabilidad de lanzar exactamente $m$ veces $3$ $n$ tiros de un $3$colindado mueren es: $$\binom{n}{m}\left(\frac13\right)^m\left(\frac23\right)^{n-m}$$ because we are dealing evidently with binomial distribution having parameters $n$ and $p=\frac13$.

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Esta igualdad puede inspirar para la construcción de un modelo en el que ambos conceptos vienen juntos.

Que podría ser hecho en la otra respuesta(s) a esta pregunta :-).