Mensurabilidad del Proceso Estocástico

Question

He venido a través de un comunicado que yo no puedo comprender.

Cuando $T=[0,\infty)$, $E=\mathbb{R}$ y $\xi=B(\mathbb{R})$ entonces la colección de todas las funciones E valores continuos no $\xi^T$-medibles.

Aquí tenemos el espacio mensurable $(E,\xi)$ y $\xi^n=\sigma\{E_{1}\times...\times E_{n}|E_{1},...,E_{n}\in \xi\} $.

Podría ser cualquiera ¿por qué es así?

Answer 1

El argumento es similar a la dada aquí.

Esto se deduce del resultado general de que si $A\in\sigma(\mathcal{F})$, entonces existe una contables de la familia $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$ tal que $A\in\sigma(\mathcal{C})$. Se puede demostrar esto mediante la comprobación de que la familia de conjuntos generados por una contables sub-familia de $\mathcal{F}$ formas un $\sigma$-álgebra que contiene $\mathcal{F}$.

Aplicado a nuestro caso, un evento en el producto $\sigma$-álgebra debe ser generado por countably muchos de coordenadas de las proyecciones. Deje $\mathscr{C}$ el conjunto de funciones continuas de$T$$E$. Si no no sería una contables conjunto de coordenadas $C\subseteq T$ tal que $\mathscr{C}\in\sigma\{\pi_n:n\in C\}$ $f$ es continua, entonces una función de $g$ que está de acuerdo con $f$ $C$ también estará en $\mathscr{C}$. Pero si $E$ tiene al menos dos puntos, habrá una función es discontinua, pero está de acuerdo con $f$$C$.