Existencia de un homomorfismo de grupo de$S_4$ a$\Bbb Z_4$

Question

Deje $S_n$ ser el grupo simétrico de a $n$ letras. Entonces, ¿existe en un grupo de homomorphism de$S_4$$\Bbb Z_4$?

Yo: Supongamos que $f:S_4 \to \Bbb Z_4$ es un grupo homommorphism. A continuación, $S_4/\ker f\cong \Bbb Z_4\implies o(\ker f)=6\implies \ker f$ es isomorfo a $S_3$ o $\Bbb Z_6$.

Si $\ker f=\Bbb Z_6\implies S_4\cong \Bbb Z_6\times \Bbb Z_4$ lo cual es falso como $S_4$ no es conmutativa, mientras que $\Bbb Z_6\times \Bbb Z_4$ es.

Si $\ker f=S_3\implies S_3$ es un subgrupo normal de $S_4$.

Ahora tome $S_3=\{e,(12),(23),(13),(123),(132)\}$.A continuación,$(14)(123)(14)=(234)\notin S_3$.Por lo tanto $S_3$ no es normal.

Es mi solución correcta??

Answer 1

Su argumento hasta "$\ker f=S_3\text{ or }\mathbb{Z}_6$" es correcta.

Pero después de esto, es posible, pero largo para seguir los argumentos; por ejemplo, si el núcleo es isomorfo a $S_3$ , entonces usted ha tomado igual a $\{(1), (123),..\}$; esto es correcto, pero necesita una justificación.

Mejor es la siguiente: $|\ker f|=6$, lo $\ker f$ contiene un elemento de orden $3$. Ya que algunos elementos de orden $3$ $S_4$ son, precisamente, $3$- ciclos (fácil de probar) y cualquiera de los dos $3$-de los ciclos de conjugar, por lo tanto, todos los $3$-ciclos de $S_4$ debe estar en el kernel (ya que el kernel es normal).

Pero ahora tenemos una contradicción. Cuántas $3$-ciclos hay en $S_4$? ¿Cuál es el tamaño de kernel?