Dos topologías son iguales si tienen la misma convergencia del filtro

Question

Un inconveniente importante de la convergencia secuencial en los espacios topológicos es que dos topologías diferentes pueden tener las mismas secuencias convergentes, por ejemplo, las topologías discreta y cofinita en $\mathbb{R}$ .

Los filtros pretenden ser mejores estructuras convergentes en los espacios topológicos, lo que lleva a mi pregunta:

Si $\tau_1$ y $\tau_2$ son dos topologías sobre un conjunto $X$ con la misma convergencia del ultrafiltro, es decir, un ultrafiltro $\mathcal{F}\rightarrow x $ en $\tau_1 \iff \mathcal{F}\rightarrow x $ en $\tau_2$ Entonces, ¿es cierto que $\tau_1 = \tau_2$ ?

Answer 1

Esto es cierto.

Para ver por qué sólo hay que recordar que $x\in \overline{A} \iff$ hay un ultrafiltro $\mathcal{F}\rightarrow x$ con $A\in \mathcal{F}$ . Y demostrar que los cierres de cualquier subconjunto deben ser idénticos en ambos casos.

Answer 2

Para cualquier espacio topológico $X$ :

$O$ es abierto si para todo $x \in O$ y para cada ultrafiltro $\mathcal{F}$ que converge a $x$ tenemos $O \in \mathcal{F}$ .

De izquierda a derecha está claro, como $O$ con $x \in O$ es una vecindad de $x$ Así que $O$ debe estar en cualquier ultrafiltro que converja a $x$ .

De derecha a izquierda: suponer $O$ satisface la condición, pero no está abierto, por lo que algún punto $p \in O$ es no un punto interior de $O$ . Esto significa que todos los barrios de $x$ intersección $X\setminus O$ y así $\{X\setminus O\} \cup \mathcal{N}_x$ forma una base filtrante por lo que hay algún ultrafiltro $\mathcal{F}$ que contiene $\mathcal{N}_x$ y $X\setminus O$ .
La contradicción, como $\mathcal{F} \to x$ así que $O \in \mathcal{F}$ por la condición, pero entonces este ultrafiltro contiene conjuntos disjuntos.

Por lo que se deduce que si la convergencia del ultrafiltro es la misma, los conjuntos abiertos también lo serán.

Answer 3

Si $\tau_1\neq \tau_2$ Hay un conjunto que es abierto en una topología pero no en la otra. Supongamos (intercambiando los papeles de $\tau_1$ y $\tau_2$ si es necesario) $U\in \tau_1$ pero $U\notin \tau_2$ . Desde $U$ no está abierto en $\tau_2$ Hay un punto en el que $x\in U$ de tal manera que no $\tau_2$ -vecino de $x$ está contenida en $U$ . De ello se deduce que el conjunto $\{V\mid x\in V\text{ and }V\in \tau_2\}\cup \{X\setminus U\}$ tiene la propiedad de intersección finita, por lo que se extiende a un ultrafiltro $\mathcal{F}$ en $X$ .

Ahora $\mathcal{F}\to x$ en $\tau_2$ ya que $\mathcal{F}$ contiene todos los $\tau_2$ -barrios abiertos de $x$ pero $\mathcal{F}\not\to x$ en $\tau_1$ ya que $\mathcal{F}$ no contiene $U$ (que es un $\tau_1$ -barrio abierto de $x$ ).

Answer 4

Dejemos que $\mathcal{N}^1_x$ sea el filtro de vecindad en $x$ en $\tau_1$ y $\mathcal{N}^2_x$ estar en $\tau_2$ . Ahora $\mathcal{N}^1_x$ converge a $x$ en $\tau_1$ por lo que debe converger en $\tau_2$ también para que $\mathcal{N}^2_x\subset\mathcal{N}^1_x$ . Del mismo modo, obtendremos $\mathcal{N}^1_x\subset\mathcal{N}^2_x$ . Así que cada punto de $X$ tiene las mismas vecindades en ambas topologías. Concluimos que $\tau_1=\tau_2$ .