Una ecuación de funtion$2f(x)+f''(x)=xf'(x)$

Question

Supongamos que$f(x)\in C^2(\mathbb R)$ resuelve la ecuación $$ 2f (x) f '' (x) = xf '(x), \ forall x \ in \ mathbb R $$ Suponga que$(f(0),f'(0))\neq (0,0)$. Probar que$(f(x),f'(x))$ no tiene límites.

Answer 1

En realidad $f(x)$ sí es ilimitado mientras $f(0)$ $f'(0)$ no son tanto $0$. Una solución para la DE es $f_1(x) = x^2-1$. Escrito $f(x) = u(x) f_1(x)$, la DE vuelve $(x^2-1) u''(x) + (- x^3 + 5 x) u'(x) = 0$, que tiene solución general $$ u'(x) = C \ \exp \int \left(\dfrac{x^3-5x}{x^2-1}\right)\; dx $$

Ahora el integrando $ > x/2$, dicen, por lo suficientemente grande como $x$. Así si $C > 0$, $u'(x) > C (\exp(x^2/4) + D)$ para algunas constantes $D$, y, en particular, $u'(x) > C \exp(x)$ para suficientemente grande $x$. Integrar y tenemos $u(x) > C \exp(x) + (constant)$ para suficientemente grande $x$, y, a continuación, $f(x) = u(x) (x^2 - 1)$ es ilimitado. Del mismo modo, si $C < 0$. Para $C = 0$, la solución es un número constante de veces $f_1(x)$, que es ilimitado, a menos que ésta es idéntica $0$.