Probar que$6$ divide$n^3+11n$?

Question

¿Cómo puedo mostrar que$$6\mid (n^3+11n)$ $

Mis pensamientos: Muestro que$$2\mid (n^3+11n)$ $$$3\mid (n^3+11n)$ $

Y$$n^3+11n=n\cdot (n^2+11)$ $ Y si$n=x\cdot 3$ para todos$x \in \mathbb{N}$ entonces:$$3\mid (n^3+11n)$ $ Y si no:

La suma cruzada de$$n^2+11$ $ es múltiplo de 3.

¿Puede esto ser correcto o hay un truco simple?

Answer 1

ps

Ver El producto de n enteros consecutivos es divisible por n factorial

OR El producto de n enteros consecutivos es divisible por n! (Sin utilizar las propiedades de los coeficientes binomiales)

Answer 2

Es más fácil entender la parte del factor$3$ para comprobar si$n^3+11n = 0 \pmod 3$.

Entonces, o bien$n = 0 \pmod 3$ o$n = \pm 1 \pmod 3$.

El$n^2 + 11$ es entonces$0 \pmod 3$.

Answer 3

También puede probar esto por inducción.

ps

$$(n+1)^3+11(n+1)=(n^3+11n) + 3n(n+1)$ Divide la primera parte por hipótesis de inducción. A continuación,$6$ divide$3$ y$3$ divide$2$ #%.

Answer 4

Por fuerza bruta :

$$(n^3+11n)\bmod6\equiv(n\bmod6)^3+11(n\bmod6)\mod6$$ and you can proceed by trying the integers $ 0$ to $ 5 $.

Mentalmente

Puede acelerar el cálculo dejando un múltiplo de$$0,12,30,60,108,180.$ que cumpla y utilizando$6$ en lugar de$-n$.

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Incrementalmente :

Calcule el delta entre dos términos consecutivos

ps

Como uno de$+11n$ y$$(n+1)^3+11(n+1)-n^3-11n=3n(n+1)+12.$ es ciertamente igual, el delta es divisible por$n$.

La propiedad es válida para todos$n+1$, como$6$ es divisible por$n$.

Answer 5

ps