$f$ Derivable a$0\iff\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}$ existe

Question

Sea$f$ una función real que sea continua en$0$.

Probar que$f$ diferenciable en$0\iff\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}$ existe

La parte$\Rightarrow$ es trivial, y$\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=f'(0)$

Qué pasa $\Leftarrow$ ? Me parece sorprendentemente difícil, ya que no he hecho ningún progreso hacia una prueba.

Cualquier sugerencia es bienvenida.

Answer 1

Respecto a la parte difícil: Después de substraer una función lineal adecuada podemos asumir$$\lim_{x\to0}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to0}{f(2x)-f(x)\over x}=0\ , y tenemos que probar que$\lim_{x\to0}{f(x)\over x}=0$.

Dado un$\epsilon>0$ existe un$\delta>0$ tal que $$\left|f(x)-f\left({x\over2}\right)\right|<{\epsilon\over2}|x|\qquad\bigl(|x|<\delta\bigr)\ .$ $ Deja ahora un$x$ con$|x|<\delta$ dado. Entonces, para% arbitrario$N\geq1$tenemos$$ f(x)=\sum_{k=0}^{N-1}\left(f\left({x\over 2^k}\right)-f\left({x\over 2^{k+1}}\right)\right)+f\left({x\over 2^N}\right) y por lo tanto $$\bigl|f(x)\bigr|\leq{\epsilon\over2}|x|\sum_{k=0}^{N-1}{1\over 2^k} +f\left({x\over 2^N}\right)\ .$ $ Permitiendo$N\to\infty$, manteniendo $x$Fue arbitrario y esto es cierto para todo$$ \bigl|f(x)\bigr|\leq\epsilon|x|\ .$con$\epsilon$ que sigue la reclamación.

Answer 2

Sugerencia Asumen $f(0)=0$ e iniciar con $\frac{f(x)-f(\frac{x}{2})}{x}$ que tratar de encontrar el límite de $$\frac{f(x)-f(\frac{x}{2^n})}{x}$$

En fin estoy detrás de mi escritorio.

Vamos a suponer que la relación de $\frac{f(2x)-f(x)}{x}$ tiene un límite de $a$ al $x\to 0$. Al cambiar la función a $f(x)-ax$ se podría suponer $a=0$. Conjunto

$$\epsilon(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)-f(x)}{x},&\text{if }x\neq 0\\0,&\text{if }x=0\end{cases}$$

$\epsilon$ es continua.

Tenemos $\forall n\geq 1$

$$f(x)-f(\frac{x}{2^n}) =\sum_{k=1}^n\left( f(\frac{x}{2^{k-1}})-f(\frac{x}{2^k})\right) =\sum_{k=1}^n \frac{x}{2^k} \epsilon(\frac{x}{2^k})$$

Deje $n\to\infty$ hemos formalmente

$$f(x)-f(0)=x\underbrace{\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\epsilon(x/2^k)}{2^k}}_{\tau(x)}$$

$\epsilon$ continua en $0$ nos permite encontrar un intervalo de $[-\alpha,\alpha]$ donde es limitado y la serie de $\tau(x)$ converge normalmente y por lo tanto es continua; la relación $\frac{f(x)-f(0}{x}\to\tau(0)=0$

Answer 3

Supongamos que $f$ es diferenciable en a $0$. A continuación, $g(x)=f(2x)$ también es diferenciable en a $0$. De ello se desprende que existen los siguientes límites $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(0)}{x 0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)-g(0)}{x 0}; \quad \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x 0}$$ Por lo tanto $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{f(2x)-f(0)}{x 0}-\frac{f(x)-f(0)}{x 0}\right)$$ existe.

Ahora, tenemos que dar un contraejemplo para mostrar que sólo la existencia del límite de $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}$$ (sin la suposición de que $f$ es continua en a $0$) no implica que $f$ es diferenciable en a $0$.

Considere la función $$f(x)= \begin{cases} 1 &\text{if} \quad x\in\mathbb{Q},\\ 0 &\text{if} \quad x\notin\mathbb{Q}. \end{casos}$$ A continuación, $f(2x)=f(x)$ todos los $x\in\mathbb{R}$, por lo que $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=0.$$ Pero $f$ no es continua y diferenciable en a $0$

Answer 4

Sobre la base de la idea de @marwalix, write \begin{eqnarray} f(x) - f(x/2) &=& k \,x/2 + \epsilon(x/2) \cdot x/2 \\ f(x/2) - f(x/4) &=& k\, x/4 + \epsilon(x/4) \cdot x/4 \\ \ldots \end {eqnarray} suma en ambos lados, use$f$ continuous en$0$ y obtenga$$ f(x) - f(0) = k\, x + \eta(x) \cdot x