Existencia de la variable aleatoria dada primero $k$ momentos

Question

Una secuencia de números reales $\{m_k\}$ es la lista de momentos de alguna variable aleatoria real si y sólo si la matriz Hankel infinita $$\left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{matrix}\right)$$ es positiva definida. (Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Hamburger_moment_problem )

Mi pregunta es, dado sólo el primer $k$ momentos, ¿es suficiente que la parte superior izquierda $k \times k$ menor de la matriz de Hankel sea positiva definida para que exista una variable aleatoria real con esas primeras $k$ ¿momentos?

En otras palabras, ¿puede un $k \times k$ ¿la matriz de Hankel definida positiva siempre se extiende a una matriz de Hankel definida positiva infinita?

Answer 1

Un enfoque menos intelectual es señalar que un $k\times k$ matriz de Hankel positiva definida (estrictamente positiva) $A$ puede ampliarse a un $(k+1)\times(k+1)$ una añadiendo un $(k+1)$ de fila y columna, preservando la definición positiva. La estructura de Hankel determina todas las entradas de la extensión excepto las entradas $a_{k,k+1} = a_{k+1,k}$ y $a_{k+1,k+1},$ que denotaré por $w$ y $z$ respectivamente. Por el criterio de Sylvester, basta con elegir $(w,z)$ por lo que el determinante $D(w,z)$ de la nueva matriz es positiva. Expandiendo los menores, por ejemplo, vemos $D$ es una función lineal de $z$ más una función cuadrática no homogénea de $w$ . Además, el coeficiente de $z$ es el determinante de la matriz original, que por supuesto es positivo. Por tanto, cualquier elección de $w$ seguido de una elección suficientemente amplia de $z$ hace $D(w,z)>0$ .

(Gracias a @tristan por señalar un fallo y su solución en una versión anterior de esta respuesta).

Answer 2

Sí, esto funciona. Realmente debería haber un argumento directo fácil, pero todo lo que se me ocurre ahora es lo siguiente: El problema del momento finito $\int x^n\, d\mu(x)=m_n$ , $n=0,1,\ldots , k$ se puede resolver de la misma manera que el problema completo $n\ge 0$ . A saber, ejecutar Gram-Schmidt en $1,x,\ldots , x^N$ (con $2N=k$ ); los polinomios ortogonales satisfarán una recurrencia de tres términos $$ a_n p_{n+1} + a_{n-1}p_{n-1} + b_n p_n = xp_n , $$ y las medidas espectrales de la matriz de Jacobi asociada resolverán el problema de momentos.

En particular, puede extenderse hasta la mitad de la línea $n\ge 1$ inventando simplemente los coeficientes $a_n,b_n$ para $n\ge N$ a voluntad, y cualquier medida de este tipo tendrá los momentos dados $m_0,\ldots , m_k$ (porque éstos sólo dependen de los primeros coeficientes). Sus momentos posteriores le darán la extensión deseada.

De hecho, hay una descripción de todo soluciones a un problema de momento finito (a veces llamado parametrización de Nevanlinna), que más o menos funciona así.