Esta era una pregunta en un examen sobre ODEs: Para el sistema planar $$ \begin{align} x' &= 3y\\ y' &=-x^3+x-4y \end {align} $$ muestra que cada órbita está delimitada hacia adelante.
No tengo ni idea de cómo mostrar esto. ¿Que puedo hacer?
Respuesta
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Fabian
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Usted puede mostrar esta utilizando una función de Lyapunov. Definir $$V(x,y) = -2 x^2 + x^4 + 6 y^2$$ que es una función con una sola mínimo en $x=-1$, $y=0$.
Durante la evolución, los cambios en la función como $$V' = (\partial_x V) x' + (\partial_y V) y' = 4 x (x^2-1) 3y + 12 y(-x^3 + x - 4 y) = -48 y^2 \leq 0 $$ que se disminuye o permanece en el más constante.
Por lo que el movimiento va a ser para siempre confinados en la región con $V(x,y) \leq V^*$ donde $V^*$ es la función de Lyapunov que se evalúa en la condición inicial.
