Estoy tratando de demostrar el teorema de Noether en el contexto de (punto de partículas) de la mecánica clásica, sin embargo, estoy un poco inseguro en un par de cosas.
Para mantener las cosas tan simples como sea posible, sólo estoy considerando el caso unidimensional. Como tal, estoy empezando con el total de la variación de la ruta $$\begin{align}q(t)\rightarrow q'(t')&=q'(t)+\dot{q}'(t)\delta t=q(t)+\delta q(t)+\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \dot{q}(t)\rightarrow \dot{q}'(t')&=\dot{q}'(t)+\ddot{q}'(t)\delta t=\dot{q}(t)+\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.1}$$ to first-order in $\delta t$. This leads to the following variations (to first-order) $$\begin{align}\delta_{_{T}}q&=q'(t')-q(t)=\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \delta_{_{T}}\dot{q}&=\dot{q}'(t')-\dot{q}(t)=\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.2}$$ where the subscript $T$ is to remind us that we are deforming the time, $t\rightarrow t+\delta t$ as well as the path (a so-called "total" or "full" variation). Now, assuming that this is a symmetry of the classical action $$S[q(t)]=\int dt\,L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\tag{1}$$ we have that $(1)$ changes by at most a surface term, i.e. $$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{2}$$ Now, the left-hand side of $(2)$ is given by $$\begin{align}\delta_{_{T}}S&=\int\delta_{_{T}}(dt)\,L+\int dt\,\delta_{_{T}}(L)=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta_{_{T}}q +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta_{_{T}}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\Big(\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\Big) +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\Big(\delta\dot{q}(t) +\ddot{q}(t)\delta t\Big)+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\left(\frac{\partial L}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\ddot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\right)\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{dL}{dt}\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]\end{align}\tag{3}$$ Assuming that $q(t)$ satisfies the Euler-Lagrange equation then we have that $$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{4}$$ which implies that $$\int dt\,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G=\text{constant}\tag{5}$$ That is, the quantity: $$\Lambda\big(q(t),\dot{q}(t),t\big)=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G,\tag{6}$$ es una constante de movimiento.
Sin embargo, tengo algunas dudas acerca de lo que he hecho hasta ahora, y esto me ha llevado a hacer las siguientes preguntas:
$1.$ He usado de la correcta total de la variación de la ruta de acceso en el primer lugar?
$2.$ Si he usado la correcta variación son los pasos en la prueba de la correcta?
$3.$ Mi motivación original para intentar replicar una prueba del teorema de Noether fue para demostrar la conservación de la energía como consecuencia de la traducción en tiempo. Parece que en este caso se asume que el total de la variación se desvanece, es decir, $$\delta_{_{T}}q=q'(t')-q(t)=0\tag{7}$ $ (. c.f. QMechanic la respuesta aquí). ¿Por qué es este el caso? ¿Cuál es la justificación?
Me doy cuenta de que este tipo de pregunta se ha hecho varias veces antes, pero después de leer los posts que he podido encontrar no he encontrado a alguno de ellos que han respondido completamente a mis preguntas. Cualquier ayuda será muy apreciada.
