Utilizando el teorema de Stokes para definir el operador de la derivada exterior

Question

En el excelente artículo "Differential forms and integration" de Terence Tao, el autor ha mencionado que "... se puede ver el teorema de Stokes como una definición de la operación de derivación $\omega\rightarrow d\omega$ por lo que la diferenciación es el adjunto de la operación de frontera".

Mi pregunta es ¿cómo se puede definir exactamente (de forma rigurosa) la derivada exterior mediante el teorema de Stokes? ¿Dónde puedo leer sobre eso en detalle?

Answer 1

Este enfoque se defiende en el libro de Arnold sobre mecánica clásica. La derivada exterior de una $k$ -forma $\omega$ se supone que es un $(k+1)$ -definida de la siguiente manera: dados los vectores tangentes $v_1,\dots,v_{k+1}$ en algún momento $x$ del colector, elija una carta de coordenadas y deje que $\Lambda_\varepsilon$ sea un paralelogramo atravesado por $\varepsilon v_1,\dots,\varepsilon v_{k+1}$ en ese gráfico. A continuación, defina $$ d\omega(v_1,\dots,v_{k+1}):=\lim_{t\to0}\varepsilon^{-k-1}\int_{\partial \Lambda_\varepsilon}\omega. $$ El área de cada cara de $\partial \Lambda_\varepsilon$ es de orden $\varepsilon^k$ . Si ampliamos los coeficientes de $\omega$ en una serie de Taylor en nuestro gráfico de coordenadas, entonces la única contribución al límite vendrá de los términos lineales: los términos constantes dan una contribución nula a la integral debido a la cancelación entre las caras opuestas, y los términos de orden $O(\varepsilon^2)$ dará contribución de orden $\varepsilon^{k+2}$ . Y la contribución de los términos lineales es fácil de calcular, recuperando la definición algebraica habitual de la derivada exterior.

Ahora, supongamos que sustituimos los paralelogramos $\Lambda_\varepsilon$ por sus imágenes $\tilde{\Lambda}_\varepsilon$ bajo un difeomorfismo cuya diferencial en $x$ es el mapa de identidad. Los términos constantes siguen dando una contribución nula, ya que una forma constante es exacta (este es un punto crucial; si intentáramos diferenciar, por ejemplo, campos vectoriales o tensores métricos en una variedad lisa sin estructura adicional, fracasaríamos aquí). La contribución de los términos lineales será la misma para $\Lambda_\varepsilon$ y $\tilde{\Lambda}_\varepsilon$ hasta una corrección insignificante. Esto demuestra, en efecto, que toda la construcción era independiente de la carta de coordenadas.

Answer 2

En la página 136 de Modelos para el análisis infinitesimal suave Ieke Moerdijk y Gonzalo E. Reyes definen la derivada exterior de esta manera en el contexto de la geometría diferencial sintética (SDG), que es una teoría realmente hermosa e intuitiva que hace que todos esos viejos argumentos infinitesimales sean rigurosos. Como comentan en el texto, el topos de Dubuc proporciona un modelo para la SDG que viene con una incrustación canónica totalmente fiel de la categoría clásica de variedades suaves, y esto nos da la derivada exterior clásica.

Sin embargo, si se prefiere trabajar estrictamente en el entorno clásico, se puede adaptar el argumento de la SDG utilizando límites (como hace V. I. Arnold), o utilizar la demostración del teorema de de Rham. En este último caso, la integración de una forma sobre cadenas singulares lisas te da una co-cadena singular lisa, y sólo tienes que comprobar que la co-limitación habitual para las co-cadenas singulares lleva las formas diferenciales a las formas. Creo que Warner presenta el teorema de Stokes para cadenas singulares en su texto.