Para$n>1$ y un anillo$R$ st$k[x_1,\dots, x_n]\subset R\subset k(x_1,\dots, x_n)$ es$R$ una localización de$k[x_1,\dots, x_n]$?

Question

Deje $k$ ser un campo. Considere la posibilidad de $n>1$ y un anillo de $R$ sentado entre el$k[x_1,\dots, x_n]$$k(x_1,\dots, x_n)=\mathrm{Frac}(k[x_1,\dots, x_n])$.

P1: ¿Es cierto que $R$ es algunos de localización de $k[x_1,\dots, x_n]$ como yo no puede venir con un contra-ejemplo?

Para $n=1$, es claro como el $k[x]$ es un Bezout de dominio que dice que todo está sentado entre $k[x]$ $k(x)$ es algunos de localización de $k[x]$.

Q2. La razón por la que estoy haciendo esta pregunta es que para el anillo de funciones regulares $O_{A^n}(U)$ sobre cualquier conjunto abierto es finito intersección de $O(D_i)$ donde $D_i$ se distinguen abrir sets/base cubriendo $U$$O(D_i)$. Por lo $O_{A^n}(U)$ se realiza de manera inversa límite de $O(D_i)$. Parece que para la mayoría de $U\subset A^n$, los veo como una especie de localización de $O(A^n)$. Hay un ejemplo contrario a esto?

Q3. $O(U)=O(\cup D_i)=\cap O(D_i)$. $\cup D_i$ puede ser realizado directamente como límite. $O(\cup D_i)$ son funciones regulares de $D_i$ $k$que es básicamente $\mathrm{Hom}(-,k)$. Por lo $\mathrm{Hom}$ convierte el directo de límite a límite inversa. Sin embargo, esta conversión es en abelian categoría. ¿Cómo debo realizar esta noción? O es esta noción correcta?

Answer 1

Aquí hay dos ejemplos.

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(Ejemplo 1): Considere El $R := k[x_{1},x_{2},\{x_{1}/x_{2}^{n} \;:\; n > 0\}]$. Una base para $R$ $k$- subespacio vectorial de $k(x_{1},x_{2})$ es la colección de $\{x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\}_{i_{1} \ge 0 , i_{2} \ge 0} \cup \{x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\}_{i_{1} > 0 , i_{2} < 0}$ de monomials.

Reclamo: El anillo de $R$ no es Noetherian (por lo que no es isomorfo a una localización de $k[x_{1},x_{2}]$).

Prueba: Por $n > 0$, vamos a $\mathfrak{a}_{n}$ a ser el ideal de $R$ generado por $x_{1}/x_{2}^{n}$. Nos muestran que la inclusión de $\mathfrak{a}_{n} \subset \mathfrak{a}_{n+1}$ no es una igualdad para todos los $n > 0$. Supongamos que existe $r \in R$ tal que $r(x_{1}/x_{2}^{n}) = x_{1}/x_{2}^{n+1}$. Esto implica $r = 1/x_{2}$ mediante la multiplicación de la ley en el campo de fracción $k(x_{1},x_{2})$; esto es una contradicción ya que el $1/x_{2} \not\in R$.

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(Ejemplo 2): Considere El $R := k[x_{1},x_{2},\frac{x_{1}}{x_{2}}] = k[x_{2},\frac{x_{1}}{x_{2}}]$. Desde $R$ es de manera abstracta isomorfo al polinomio anillo de $k[x,y]$, la inclusión canónica $k^{\times} \to R^{\times}$ es un isomorfismo.

Tenemos la siguiente descripción de las unidades de una localización de una unidad flash usb:

Deje $A$ ser un UFD, vamos a $W$ ser un conjunto de elementos irreductibles de $A$ que son pares coprime, y deje $S$ ser el subconjunto multiplicativo de a $A$ generado por $W$. A continuación, la inclusión canónica $$ \textstyle A^{\times} \oplus \bigoplus_{w \in W} \mathbb{Z} \to (S^{-1}A)^{\times} $$ es un isomorfismo (de abelian grupos).

Esto muestra que la inclusión de $k[x_{1},x_{2}] \subset R$ no es de la forma $k[x_{1},x_{2}] \to S^{-1}(k[x_{1},x_{2}])$ para un trivial subconjunto multiplicativo $S$$k[x_{1},x_{2}]$.