Es $e^x$ el único isomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$$(\mathbb{R}_{> 0},*)$?

Question

Si es así, ¿cómo podría yo ser capaz de demostrarlo?

EDIT: OK, gracias a la cantidad de respuestas especialmente giro y Micah explicaciones. Todas las respuestas fueron muy útiles en la comprensión, he aceptado de Micah, porque parece el más completo, pero todas las respuestas que proporcionan útiles adiciones/perspectivas! He tratado de resumir:

$\phi$ es un isomorfismo entre los grupos si y sólo si $\phi(x) = e^{f(x)}$ donde $f$ es un isomorfismo de$(\mathbb{R},+)$$(\mathbb{R},+)$.

Por supuesto, hay un montón de dichas $f$, especialmente cuando tomamos el Axioma de Elección.

Sin embargo, parece que a partir de las respuestas y de Micah enlace (de Cauchy funcional de la ecuación) que la única "buena" soluciones se $f(x) = cx$ por una constante $c$. Parece que todas las demás deben ser "altamente patológicas" ($\{(x,f(x))\}$ debe ser denso en $\mathbb{R}^2$).

Una pregunta que queda es, ¿qué tan fuerte es la declaración de

Todos isomorphisms tiene la forma $e^{cx}$ algunos $c \in \mathbb{R}$

o de su negación? O lo que es requerido para que cada uno sostenga?

Una respuesta parece ser que, suponiendo que los reales tiene la propiedad de Baire es suficiente para descartar otras soluciones (como se está suponiendo que cada subconjunto de los reales es medible, asumiendo el Axioma de Determinación, y se mantiene en Solovay del modelo). Para más información, consulte esta pregunta, esta pregunta, y esta mathoverflow pregunta.

Answer 1

Una vez que usted tiene un isomorfismo, hay un montón. Tomar dos Hamel bases de $\mathbf{R}$, decir $(b_i)$$(c_i)$, y definir $f$ por $$ f(b_i) = e^{c_i}, $$ se extiende por $\mathbf{Q}$-linealidad a todos los de $\mathbf{R}$.

PS claro yo soy implícitamente usando aquí el argumento de @Micah y @spin.

Answer 2

Deje $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ ser un isomorfismo. A continuación, $g=\log f$ es un automorphism de $(\mathbb{R}, +)$: es decir, se satisface $$ g(x+y)=g(x)+g(y) \, . $$ Esto es de Cauchy funcional de la ecuación. La única forma continua (o incluso medibles) las soluciones son los triviales (los que corresponden a $f(x)=e^{cx}$), pero también hay exóticos soluciones que requieren de cierta versión de el axioma de elección para la construcción — que se produciría igualmente exóticos $f$s.

Answer 3

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+} \text{ satisfying } f(x+y)=f(x)f(y)$, $f$ continuo, $f(x)=e^{cx}$

Tratar de resolver este problema Cualquier Mentira Grupo Homomorphism de $\mathbb{R}\rightarrow S^1$ es de la forma $e^{iax}$ algunos $a\in\mathbb{R}$ y cada una de estas homomorphism es suave.

Answer 4

$e^{2x}$ es otro. En general si $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es un grupo de isomorfismo, entonces $e^{\phi(x)}$ es otro.

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Uno debe también tener en cuenta que si $\phi$ es un grupo de isomorfismo entre el$(\mathbb{R},+)$$(\mathbb{R}_{>0},*)$, $\log(\phi)$ es un automorphism de $(\mathbb{R},+)$. Ahora la pregunta es para determinar el grupo de automorfismos de a $\mathbb{R}$ como un grupo de menores, además de

Answer 5

Supongamos que $G \cong H$ grupos y que $f: G \rightarrow H$ es un isomorfismo. A continuación, cada isomorfismo $G \rightarrow H$ es de la forma $f \circ g$ donde $g: G \rightarrow G$ es un isomorfismo. Para determinar cada isomorfismo $G \rightarrow H$, basta con encontrar un solo y, a continuación, el resto están dados por la composición con automorfismos de a $G$.

Debido a $x \mapsto e^x$ es un isomorfismo $(\mathbb{R}, +) \rightarrow (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$, cada isomorfismo $(\mathbb{R}, +) \rightarrow (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$ es de la forma $x \mapsto e^{\varphi(x)}$ donde $\varphi$ es un automorphism de $(\mathbb{R}, +)$.