Instituto de Arcilla Navier Stokes Parte 2

Question

Esto es una extensión de mi pregunta aquí: Instituto de Arcilla Navier Stokes . La última vez mi solución fue errónea porque mi vector de velocidad no utilizaba funciones acotadas. También alguien dijo que sólo estoy mostrando un ejemplo, pero estoy tratando de demostrar una declaración que dice "existe" por lo que sólo debería tener que encontrar uno derecho? He buscado en funciones suaves y acotadas y parece que las funciones gaussianas son buenos ejemplos, así que he reescrito otro ejemplo. Si pudierais decirme qué sigue siendo incorrecto/no satisfactorio.

Estamos tratando de satisfacer:

\begin{equation} \frac{\partial \textbf{u}}{\partial t} + (\textbf{u}\cdot\nabla)\textbf{u}=-\frac{\nabla P}{\rho} + \nu\nabla^{2}\textbf{u}+\textbf{f}, \end{equation}

\begin{equation}\label{incompr} \nabla\cdot\textbf{u}=0. \end{equation}

Tenemos que elegir una función de velocidad (u) y de presión (P) para satisfacer estas ecuaciones. Tomamos $n=3$ poniendo nuestros vectores de velocidad y presión en el plano cartesiano 3D con $x,y,z$ . Dejamos que $\textbf{f}$ sea 0 según la descripción del problema, y supongamos que la viscosidad cinemática (nu) es mayor que 0. Sea

\begin{equation} \textbf{u}(x,t)=\begin{bmatrix} e^{-t^2} \\ e^{-t^2} \\ e^{-t^2} \end{bmatrix} \fin{sión}

Entonces $\textbf{u}(x,t)$ satisface la condición de ausencia de divergencia porque

\begin{equation} \nabla \cdot \textbf{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y}+\frac{\partial u_3}{\partial z} \end{equation}

que es

\begin{equation} \nabla \cdot \textbf{u} = 0+0+0=0 \end{equation}

Entonces

\begin{equation}\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t}=\begin{bmatrix} -2te^{-t^2} \\ -2te^{-t^2} \\ -2te^{-t^2} \end{bmatrix} \end{equation}

Y

\begin{equation} \textbf{u} \cdot \nabla = (e^{-t^2})\frac{\partial}{\partial x} + (e^{-t^2})\frac{\partial}{\partial y}+(e^{-t^2})\frac{\partial}{\partial z} \end{equation}

Y

\begin{equation} \begin{split} (\textbf{u} \cdot \nabla)\textbf{u} &= (e^{-t^2})\frac{\partial \textbf{u}}{\partial x} + (e^{-t^2})\frac{\partial \textbf{u}}{\partial y}+(e^{-t^2})\frac{\partial \textbf{u}}{\partial z} \\ &=(e^{-t^2})\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}+(e^{-t^2})\begin{bmatrix} 0 \N - 0 \N - fin{bmatrix}+(e^{t^2}) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{split} \end{equation}

Dado que el laplaciano de $\textbf{u}$ es 0, todo el término de velocidad cinemática va a 0. Y la expresión final de Navier-Stokes es

\begin{equation} \begin{bmatrix} -2te^{-t^2} \\ -2te^{-t^2} \\ -2te^{-t^2} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 \N - 0 \N - fin{bmatrix}=-\frac{\nabla P}{\rho} \nd{equation}

Así que fijamos $\rho$ igual a 1 para facilitar el cálculo. Lleva el negativo al lado izquierdo y combina el lado izquierdo.

\begin{equation} \begin{bmatrix} 2te^{-t^2} \\ 2te^{-t^2} \\ 2te^{-t^2} \end{bmatrix} =\nabla P \fin{ecuación}

y resolvemos una solución para P

\begin{equation} P=2 e^{-t^2} t x + 2 e^{-t^2} t y + 2 e^{-t^2} t z \end{equation}

Así que ahora tenemos funciones infinitamente diferenciables para u y P. ¿Dónde me he equivocado/malentendido el problema? http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf . Estoy tratando de probar la afirmación A

Answer 1

Creo que estás malinterpretando el problema. El problema no es mostrar que las funciones $\{\mathbf{u}(\mathbf{x},t), P(\mathbf{x},t)\}$ que satisfagan las ecuaciones de Navier-Stokes; eso es relativamente fácil. El problema es demostrar que, dado cualquier función $\mathbf{u}^\circ(\mathbf{x})$ existe una función $\{\mathbf{u}(\mathbf{x},t), P(\mathbf{x},t)\}$ que cumplen las ecuaciones de Navier-Stokes y satisfacen $$ \mathbf{u}(\mathbf{x},0) = \mathbf{u}^\circ(\mathbf{x}). $$ Esta función $\mathbf{u}^\circ(\mathbf{x})$ se llama datos iniciales básicamente te dice lo que el sistema está haciendo en el momento en que inicias tu cronómetro.

Para su función, tiene $\mathbf{u}(\mathbf{x},0) = (1,1,1)$ . No he revisado cuidadosamente tus matemáticas, pero incluso si esto fuera una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, sólo sería una gota de agua. Entonces tendrías que encontrar una solución con $\mathbf{u}(\mathbf{x},0) = (e^{-(x^2+y^2 + z^2)}, 0, 0)$ . Y luego $\mathbf{u}(\mathbf{x},0) = e^{-(x^2+y^2 + z^2)}(\sin(z^2+x), x^2, \tanh(y))$ . Y luego cualquier otra función concebible que podría darte para los datos iniciales.

Obviamente, es imposible escribir una solución para cada función concebible, por la sencilla razón de que hay infinitas funciones de este tipo y no se dispone de una cantidad infinita de tiempo. Más bien, cuando los matemáticos intentan demostrar la existencia de soluciones a las EDP, tratan de encontrar una solución general en forma de integrales que impliquen los datos iniciales, y luego demuestran que estas integrales se comportan bien sean cuales sean los datos iniciales. A veces, tienen que imponer ciertas condiciones a los datos iniciales para asegurarse de que sus integrales se comportan bien; estas son las condiciones con las que te encontraste en tu último post.

Answer 2

Como con muchos problemas matemáticos difíciles, el truco es demostrar algo siempre existe. Sin embargo, ha sido un buen ejercicio: has encontrado una función determinada que satisface una EDP no lineal, y eso no siempre es fácil de hacer explícitamente. Ahora puedes encontrar una solución que satisfaga algo como $$ {\bf u}(x,0) = {\bf u}^0(x) = \exp(-\|x\|^2)[y,-x,0]^T? $$