El reino en el que Gödel del Teorema de la Incompletitud se discute no es realmente acerca de "verdadero" y "falso" declaraciones-que es "demostrable" y "disprovable" declaraciones.
Considere estas tres declaraciones:
- Soy una rubia persona.
- Todos con pelo rubio personas que miden más de cuatro metros.
- Yo soy más alto que los cuatro metros.
Declaración de (3) es demostrable a partir de las declaraciones (1) y (2), como en, si usted asume algunas reglas sobre los conceptos básicos de la lógica, y usted asume (1) y (2) son verdaderas, entonces (3) también será verdadera.
Pero aquí está la cosa-los tres declaraciones son en realidad falso. Resulta que en el mundo real, yo no soy una rubia persona, no todos con pelo rubio personas que miden más de cuatro metros, y yo no soy más alto que los cuatro metros.
Para "demostrar" que (3) es verdadera, usted necesita tener la llamada (1) y (2) los axiomas, que es que tienes que aceptar que es cierto, luego agregar un poco de las reglas de lógica, y entonces usted tendrá un sistema que permite deducir que (3) es verdadera.
Ahora imagínate que el reino de todas las frases posibles. La mayoría de las frases no tienen sentido. Algunas de esas sentencias serán frases sencillas que todos estuviesen de acuerdo después de ser cierto, como "Uno y el cero son los números diferentes," y aquellos que podrían ser útiles como axiomas. Algunas de las frases son frases que podrían ser demostrable a partir de los axiomas, como "Hay un número infinito de números primos".
Lo que los matemáticos esperaba era que se podía tener un conjunto finito de axiomas, de un conjunto finito de las reglas de lógica que permite manipularlos, y entonces usted puede tener un sistema que podría tener cualquier frase en el idioma y decirle si era demostrable a partir de los axiomas, lo que llamamos decidable declaraciones. Lo hicieron antes de los ordenadores, pero usted puede pensar en él como, hey, tal vez podemos escribir un programa que va a probar cada declaración verdadera finalmente... ah, pero es muy fácil escribir un programa que va a probar cada declaración verdadera. Leer en.
Vamos a volver a su original propuesta de declaración. Vamos a darle un nombre:
Declaración De Una. "Si esta declaración no puede ser codificado, entonces, esta afirmación es falsa."
Podemos demostrarlo? Por supuesto, si hemos de elegir bien a los axiomas. Sólo voy a hacer esto:
Axioma B: "Declaración puede ser codificado."
Axioma C: "la Declaración es falsa."
Wow, creo que puede resultar Una Declaración del Axioma B y C. Es tan fácil yo no voy a escribir toda la prueba aquí; estoy seguro de que se puede averiguar.
Pero, aquí está la cosa. Como en mi ejemplo, con el pelo rubio persona de arriba, la prueba de Declaración de Una no afecta a nada en el mundo real. Terminamos simplemente descartarlo como una tontería. El universo no explotar cuando digo "Esta frase es falsa," no importa cuánto me lo creo. Todo lo que hemos demostrado es que si te dan a elegir sus axiomas, usted puede probar o refutar nada. Diablos, yo podría haber elegido Una Declaración como un axioma y, a continuación, es "true" (dentro de la esfera de asumir los axiomas son verdaderos) y, sin embargo, falso (en el mundo real fuera).
En realidad, es aún peor, no sólo está la Declaración de Un "verdadero" en el reino de asumir nuestra axiomas son verdaderos, también es "falso" al mismo tiempo, por la razón que usted indica en su pregunta original. Lo que, básicamente, ha hecho es que ha creado un incoherente sistema, un lugar donde una declaración puede ser comprobado y demostrado falsa. Y resulta que una vez que usted tiene una declaración en su sistema, si usted está asumiendo básicas de la lógica, entonces todas las declaraciones con significado convertido en ambos demostrablemente cierto y demostrablemente falsas, y ahora que no estás haciendo ningún útil de matemáticas.
Así, lo nuestro a principios del siglo 20, los matemáticos estaban esperando, era que se podía comenzar con un pequeño conjunto finito de axiomas de la aritmética básica, un pequeño conjunto finito de reglas de la lógica para que puedas construir pruebas, y que con el tiempo esto sería lo suficientemente potente como para hacer un completo sistema-un sistema donde no hay indecidible de las declaraciones, y no incoherentes declaraciones. Una declaración como la suya no ser codificable en este hipotético sistema ideal. (Que, claro está, no significa que sea la verdad, y por lo tanto un indecidible declaración, pero eso está bien, porque no está en el sistema).
Lo que Gödel hizo fue destrozar las esperanzas de los matemáticos -- demostró que si usted tenía un conjunto finito de axiomas y un conjunto finito de reglas, entonces el sistema es incompatible (no se pudo encontrar una declaración de que era posible demostrar la verdadera y posible demostrar la falsedad), o de que existía un indecidible declaración (una declaración de que era imposible probar la verdad y es imposible demostrar la falsedad). Él hizo esto por la asignación de números a todas las sentencias, a continuación, muestra que cualquier prueba podría ser reinterpretada como la aplicación específica de reglas de la aritmética de los números que representan los axiomas y la generación de números que representaban comprobable declaraciones. A continuación, él demostró que, si usted comienza con un conjunto finito de axiomas (llamar F), entonces siempre se puede encontrar un número de G que representa la declaración de "G no puede ser generado a partir de F". Lo que significa que G es indecidible. (Por supuesto, usted podría entonces decidir que hacer G un axioma, pero luego se acaba de construir un número de H que significaba "H no puede ser generado a partir de F y G", y así sucesivamente.)
Eso fue bastante sorprendente.
Todo lo que has hecho es demostrar la existencia de un sistema inconsistente. Que no es tan sorprendente, especialmente desde Epimenides hizo algo similar 2700 años, pero es algo.
