¿Cómo demuestro que este espacio es un espacio de Banach?

Question

Definimos el siguiente espacio $$ L^{\Phi}(\Omega)=\left\{u:\Omega\rightarrow \mathbb{R}~\text{measurable};~\int_{\Omega}\Phi\left(\frac{u}{\lambda}\right) dx<+\infty, ~\text{for any}~\lambda>0\right\} $$

donde $\Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ cumple las siguientes condiciones:

$(i)$ $\Phi$ es una función continua y convexa;

$(ii)$ $\Phi(t)=0$ si, y sólo si $t=0$ ;

$(iii)$ $\displaystyle\frac{\Phi(t)}{t}\overset{t\rightarrow0}{\longrightarrow}0$ y $\displaystyle\frac{\Phi(t)}{t}\overset{t\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty$ ;

$(iv)$ $\Phi$ es par (es decir $\Phi(t)=\Phi(-t)$ )

Dotado de la norma: $$ ||u||_{\Phi}=\inf \left\{\lambda>0; \int_{\Omega}\Phi\left(\frac{u}{\lambda}\right)dx\leq 1\right\} $$

Empiezo la prueba por : Sea $(f_n)\subset L^{\Phi}(\Omega)$ sea una sucesión de Cauchy que sea $||f_n-f_m||_{\Phi}\to0$ cuando $m,n\to\infty$

¿Cómo encontramos $f\in L^{\Phi}(\Omega)$ tal que $||f_n-f||_{\Phi}\to0$ ?

Gracias

Answer 1

Paso 0

Creo que podríamos empezar por demostrar que ${L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right) \subset {L}^{1}_{\text{loc}} \left({\Omega}\right)$ . En efecto, si $B$ es un valor acotado de ${\Omega}$ entonces para $u \in {L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)$ y para todos ${\lambda} > {\left\|u\right\|}_{{L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)}$ se tiene por la desigualdad de Jensen

$$\renewcommand{\arraystretch}{2} \begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{{\Omega}}^{}{\Phi} \left(\frac{u}{{\lambda}}\right) d x \leqslant 1&\Rightarrow &\displaystyle \int_{B}^{}{\Phi} \left(\frac{u}{{\lambda}}\right) d x \leqslant 1\\ &\Rightarrow &\displaystyle \frac{1}{\left|B\right|} \int_{B}^{}{\Phi} \left(\frac{\left|u\right|}{{\lambda}}\right) d x \leqslant \frac{1}{\left|B\right|}\\ &\Rightarrow &\displaystyle {\Phi} \left(\frac{1}{\left|B\right|} \int_{B}^{}\frac{\left|u\right|}{{\lambda}} d x\right) \leqslant \frac{1}{\left|B\right|}\\ &\Rightarrow &\displaystyle {\Phi} \left(\frac{{\left\|u\right\|}_{{L}^{1} \left(B\right)}}{{\lambda} \left|B\right|}\right) \leqslant \frac{1}{\left|B\right|}\\ &\Rightarrow &{\left\|u\right\|}_{{L}^{1} \left(B\right)} \leqslant \left|B\right| {{\Phi}}^{{-1}} \left(\frac{1}{\left|B\right|}\right) {\lambda} \end{array}$$

Tomando el mínimo sobre ${\lambda}$ produce

$${\left\|u\right\|}_{{L}^{1} \left(B\right)} \leqslant \left|B\right| {{\Phi}}^{{-1}} \left(\frac{1}{\left|B\right|}\right) {\left\|u\right\|}_{{L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)}$$

De ello se deduce que una sucesión de Cauchy ${f}_{n}$ en ${L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)$ es también una sucesión de Cauchy en ${L}^{1} \left(B\right)$ . Por lo tanto, existe una función $f \in {L}^{1}_{\text{loc}} \left({\Omega}\right)$ tal que ${f}_{n} \rightarrow f$ en ${L}^{1}_{\text{loc}} \left({\Omega}\right)$ . Queda por demostrar que $f \in {L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)$ y que ${f}_{n} \rightarrow f$ en ${L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)$ .

Edición: boceto del final de la prueba

Primer paso

Sólo necesitamos demostrar la convergencia de una subsecuencia del ${f}_{n}$ porque si una subsecuencia de una sucesión de Cauchy converge, toda la sucesión converge. Como ${f}_{n} \rightarrow f$ en ${L}^{1}_{\text{loc}} \left({\Omega}\right)$ podemos suponer, al extraer una subsecuencia, que ${f}_{n} \rightarrow f$ en casi todas partes.

Paso 2

En ${f}_{n}$ es una sucesión de Cauchy, existe una sucesión ${c}_{n} \rightarrow 0$ de números tales que ${\left\|{f}_{n}-{f}_{m}\right\|}_{{L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)} \leqslant {c}_{n}$ para todos $m \geqslant n$ . Para cualquier ${\lambda} > {c}_{n}$ Nosotros podemos aplicar el lema de Fatou

$$\int_{}^{}{\Phi} \left(\frac{{f}_{n}-f}{{\lambda}}\right) d x = \int_{}^{}\liminf\limits _{m \rightarrow \infty } {\Phi} \left(\frac{{f}_{n}-{f}_{m}}{{\lambda}}\right) d x \leqslant \liminf\limits _{m \rightarrow \infty } \int_{}^{}{\Phi} \left(\frac{{f}_{n}-{f}_{m}}{{\lambda}}\right) d x \leqslant 1$$

Paso 3

Para cualquier ${\lambda} > 0$ la convexidad de ${\Phi}$ implican que

$$\int_{}^{}{\Phi} \left(\frac{f}{{\lambda}}\right) d x = \int_{}^{}{\Phi} \left(\frac{1}{2} \frac{{f}_{n}}{{\lambda}}+\frac{1}{2} \frac{f-{f}_{n}}{{\lambda}}\right) d x \leqslant \frac{1}{2} \int_{}^{}{\Phi} \left(\frac{{f}_{n}}{{\lambda}}\right) d x+\frac{1}{2} \int_{}^{}{\Phi} \left(\frac{f-{f}_{n}}{{\lambda}}\right) d x$$

Eligiendo $n$ suficientemente grande, se tiene ${\lambda} > {c}_{n}$ y se deduce que $\boxed{\int_{}^{}{\Phi} \left(\frac{f}{{\lambda}}\right) d x < \infty }$ Por lo tanto $f \in {L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)$

Paso 4

Los pasos 2 y 3 implican ahora que para todo $n$ ,

$${\left\|{f}_{n}-f\right\|}_{{L}^{{\Phi}} \left({\Omega}\right)} \leqslant {c}_{n} \rightarrow 0$$

QED