Hay axiomas para dividir por cero que no destruyen a las matemáticas?

Question

Llegué a la conclusión de que - en cierto sentido - todas las fracciones. Es decir, cuando decimos $$\frac{a}{b}=x$$ Nos limitamos a declarar el número de $x$ a satisfacer la ecuación: $$b\cdot x=a$$ Por supuesto que hay mucho más a las fracciones de este. Pero naturalmente que vino después - ¿por qué no definir la división por cero a existir? Por lo que escribir que $$\omega=\ "\frac{1}{0}" \quad\text{meaning simply that}\quad \omega\cdot 0 =1$$ Declaramos $\omega$ tener esta propiedad $\textit{and only this property}$. Si tuviéramos que dar $\omega$ las mismas propiedades de cada número tiene entonces la matemática es rápidamente "destruido" - lo que significa que cada número es igual a cualquier otro número.

El siguiente objetivo es dar a $\omega$ como muchas de las propiedades de otros enteros como sea posible sin destruir el álgebra.

De un ejemplo de un intento fallido, vamos a dar $\omega$ $\textbf{distributivity}$ y un $\textbf{additive inverse}$. Tenemos $$1=\omega\cdot 0=\omega\cdot(1-1)=\omega-\omega=0$$ y sucedió.

Parece seguro que dará $\omega$ las siguientes propiedades conmutativas $$\omega \cdot a=a\cdot\omega$$ $$\omega + a = a + \omega = \omega$$

Hay una manera infalible para comprobar si de dar a $\omega$ alguna propiedad en particular es "seguro"? (es decir, nos deja con una coherente teoría de los números)

Answer 1

Con respecto a un infalible método: Producir un modelo del conjunto de oraciones (propiedades) que se desea conservar. Una teoría de la $T$ es consistente si y sólo si existe un modelo de $T$. (Véase, por ejemplo, la segunda forma de exhaustividad se mencionó en la respuesta a la Pregunta acerca de la prueba de consistencia iff satisfiability de una teoría)

Interpreto tu pregunta como una firma de $(+, \cdot, 0, 1, \omega)$. De manera informal, lo que "producir un modelo" significa en este contexto es encontrar un conjunto $X$ y dos operaciones binarias $+$,$\cdot$, y un mapeo de la constante de símbolos $0$,$1$,$\omega$ en $X$ que satisfacen cualquier lista de frases que usted tiene en mente. Como se ha mencionado en los comentarios, no es difícil producir ejemplos si no requiere la distributividad.

Por ejemplo, consideremos el conjunto $\{a,b\}$ $+$ exhaustivamente dada por $a + a = a$, $a + b = b$, $b + a = b$, $b + b = a$ y $\cdot$ exhaustivamente dada por $a \cdot a = b$, $a \cdot b = a$, $b\cdot a = a$, y $b \cdot b = b$. La interpretación de $0$ $a$, $1$ como $b$, e $\omega$$a$, vemos a $\omega \cdot 0 = 1$ en este modelo y creo que vamos de la mano a comprobar que todas conmutativa anillo de axiomas, excepto para la distributividad. (Esta es una versión disfrazada de XOR como $+$ y NO-XOR como $\cdot$.) Si no he jodido, esto implica la conmutativa anillo de axiomas sin la distributividad junto con una constante de $\omega$ satisfacción $\omega \cdot 0 = 1$ no va a producir una incoherencia.

Answer 2

Incluso sin un inverso aditivo de a $\omega,$ no es seguro dar es mutiplicative distribución a través de la suma: $$ 1 = \omega \cdot 0 = \omega \cdot (0+0) = \omega \cdot 0 + \omega \cdot 0 = 1 + 1 = 2. $$

Supongamos que permiten la asociatividad de la multiplicación que implican $\omega.$ $$ 1 = \omega \cdot 0 = \omega \cdot (0 \cdot 0) = (\omega \cdot 0) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0. $$

Si $1 + \omega = \omega$, entonces debemos abandonar el inverso aditivo de $\omega$ o de la asociatividad de la suma con $\omega$ o más $$ 0 = \omega + (-\omega) = (1 + \omega) + (-\omega) = 1 + (\omega + (-\omega)) = 1 + 0 = 1. $$

¿Qué acerca de la ecuación de $x \cdot 0 = 2$? Es $x = 2\cdot \omega$ la solución de esta ecuación? No podemos utilizar la asociatividad para probar esto, por lo que no acabamos de tomar como un definición de $(a\cdot\omega) \cdot 0 = a$ todos los $a$?

¿Qué acerca de la $(x + x)\cdot 0 = 2$? Aun así, podemos reescribir la mano izquierda como $x\cdot 0 + x\cdot 0$? Aún cuando puede que $x=\omega$?

¿Qué acerca de la $x \cdot (0 + 0) = 2?$ Que ya se metió en problemas con esto; por lo tanto, debemos hacer especial las normas que limitan las operaciones que podemos realizar sobre polinomios arbitrarios, sólo en caso de que decidamos poner uno igual a algún número positivo cuando ordinaria aritmética sería reducir a cero el polinomio?

Así que no es sólo "propiedades de $\omega$" tenemos que dar; tenemos problemas con la aritmética hacíamos con los números ordinarios. Me doy cuenta de todo lo anterior no responder a la pregunta principal (si hay una manera infalible de saber qué propiedades son "seguros" para $\omega$), pero creo que esa pregunta no puede ni siquiera acercarse a la cobertura de todas las dificultades causadas por contigua a la definición de $\omega \cdot 0 = 1$ ordinaria de la aritmética.