Deje $a,b \in \mathbb{Z}$ ser números enteros tales que a $\sqrt{a} \notin \mathbb{Z}$ e $ \sqrt[3]{b} \noen \mathbb{Z}$ (the number $$ se le permite ser negativo). Tengo que demostrar que
$$ \mathbb{Q}(\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}) = \mathbb{Q}(\sqrt{a}, \sqrt[3]{b})$$
pero no puedo utilizar cualquier teoría de Galois para hacerlo, ya que no hemos conseguido todavía que en mi curso.
Me dio una pista: "vamos a $G$ $H$ denotar el lado izquierdo y el lado derecho, respectivamente; analizar las posibilidades de la dimensión $[H:G]$ y el uso de te hecho de que $G(\sqrt{a}) = G(\sqrt[3]{b}) = H$".
Sin embargo, en lugar de eso, me acerqué a ella de forma similar a Paramanand Singh, la respuesta a esta pregunta. Pero, no estoy segura de que ese enfoque es correcto en esta situación.
De todos modos, esto es lo que hice, de acuerdo a Paramanand del método:
Es obvio que $\mathbb{Q}(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{a}, \sqrt[3]{b})$, ya que el $\sqrt{a} + \sqrt[3]{b}$ es una combinación lineal de $\sqrt{a}$ $\sqrt[3]{b}$
Ahora, por otro lado, vamos a $c = \sqrt{a}+\sqrt[3]{b}$.
WTS: $e=\sqrt{a}$, $f = \sqrt[3]{b}$ son funciones racionales de $c$.
$$ (c-e)^{3} = b \, \to \, c^{3}-3c^{2}e + 3ac - ae = b \, \to \, 3c^{2}e + ae = -b + c^{3}+3ac \, \to \, e = \frac{c^{3} + 3ac - b}{3c^{2} + a}\, \to \, \sqrt{a} = \frac{c^{3} + 3ac -b }{3c^{2}+a} $$
De modo que $\sqrt{a}$ es una función racional de $c$.
También, desde la $c = e + f = \sqrt{a} + \sqrt[3]{b}$,$\sqrt[3]{b} = c - \sqrt{a}$, por lo que el $\sqrt[3]{b}$ también es una función racional de $c$.
Por lo tanto, $\mathbb{Q}(\sqrt{a}, \sqrt[3]{b}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b})$
Sin embargo, algo acerca de esto no es justo conmigo. Es esta, de hecho, la forma correcta para demostrarlo? O debo hacerlo de la manera que mi profesor sugirió? También me gustaría un poco de ayuda haciendo de esa manera.
Supongo que de esa manera, podríamos empezar diciendo que "es obvio que $\mathbb{Q}(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{a}, \sqrt[3]{b})$, ya que el $\sqrt{a} + \sqrt[3]{b}$ es una combinación lineal de $\sqrt{a}$ $\sqrt[3]{b}$" (si esta es, en realidad, la verdadera). A continuación, $\mathbb{Q}(\sqrt{a}, \sqrt[3])$ tiene el grado $6$, ¿verdad?
Así, sería necesario demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b})$ también tiene un grado $6$, pero todavía no veo qué tiene esto que ver con la sugerencia...
Si dejo $G = \mathbb{Q}(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b})$$H = \mathbb{Q}(\sqrt{a}, \sqrt[3]{b})$, luego de curso $G(\sqrt{a}) = \mathbb{Q}(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt{a}) = \mathbb{Q}(\sqrt{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{b})$, pero todavía no veo cómo esto ayuda!
Podría alguien por favor explicar esto a mí? Yo estaría más que agradecido! Gracias!
