¿Por qué es el signo de los términos de polinomios ortogonales siempre alternando?

Question

He comprobado algunas de las expresiones de polinomios ortogonales, por ejemplo, Laguerre Polymonial, el Polinomio de Legendre, Hermite Polinomios, etc. Y el signo de los términos que en ellos hay siempre alternando. Por ejemplo, $$H_8(x) = 256 x^8-3584 x^6+13440 x^4-13440 x^2+1680$$ El signo de cada término es $(+~-~+~-~+)$. Esto parece ser cierto para todos los polinomios. Hay una explicación para esto?

Answer 1

Creo que esto se sigue del hecho de que todas estas familias satisfacer tres períodos de recurrencia de la relación $$ P_n(x) = (x-\alpha_{n-1}) P_{n-1}(x)-\beta_{n-2} P_{n-2}(x) $$

Answer 2

Una vez que tenemos una Rodrigues-como fórmula (codificación de una particular elección de una base ortogonal) la alternancia de signos son bastante sencillos consecuencia. Por ejemplo, en el caso de Legendre $$ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n.\tag{1}$$ El binomio de expansión de $(x^2-1)^n$ ha alternancia de signos: trivial. El operador $\frac{d^n}{dx^n}$ no cambia, ni se hace la multiplicación por $\frac{1}{2^n n!}$.