Es $\frac{200!}{(10!)^{20} \cdot 19!}$ un número entero o no?

Question

Un amigo mío me pidió que demostrar que $$\frac{200!}{(10!)^{20}}$$ es un número entero

He utilizado un ejemplo básico en el que supuse que allí se $200$ objetos de lugares en $20$ cajas (lo que significa que efectivamente hay $10$ objetos en una caja). Una condición más que yo, se aprobó que las cajas son distinguibles, pero los elementos dentro de cada cuadro no. Ahora el número de permutaciones posibles de ese acuerdo son : $$ \frac{200!}{\underbrace{10! \cdot 10! \cdot 10!\cdots 10!}_{\text{$20$ times}}}$$ $$\Rightarrow \frac{200!}{(10!) ^{20}}$$

Ya que estas son formas de organización, podemos estar bastante seguros de que este número es un entero.

Luego hizo la complejidad del problema mediante la adición de un $19!$ en el denominador, con lo que el problema de: Es $$\frac{200!}{(10!)^{20} \cdot 19!}$$ un número entero o no?

El $19!$ en el denominador se parecía bastante extraño y por lo tanto no podía encontrar ningún modo intuitivo para determinar la cosa. Puede alguien por favor me ayude con el problema?

Answer 1

Se supone que las cajas eran distinguibles, que conduce a $\frac{200!}{(10!)^{20}}$, maneras de llenar las cajas. Si se hacen indistinguibles, combinar la $20!$ formas de reordenación de las cajas en uno, para que la respuesta anterior overcounts cada forma de llenado de cajas indistinguibles por un factor de $20!$. Por lo tanto se queda con $\frac{200!}{(10!)^{20}}/20!$ formas para llenar 20 indistinguible cajas, que luego debe ser un número entero. Después de multiplicar por $20$ por supuesto, es todavía un número entero.

Answer 2

Sabemos que $\dfrac{(mn)!}{n!(m!)^n}$ es un número entero para $m,n \in \Bbb N$ $^{(*)}$ . Deje $n = 20$$m = 10$, $\dfrac{(200)!}{20!(10!)^{20}}$ es un número entero.

Multiplicar por $20$, $\dfrac{(200)!}{19!(10!)^{20}}$ es un número entero.

$(*)$ : Demostrar que $(mn)!$ es divisible por $(n!)\cdot(m!)^n$

Answer 3

El uso de la inducción, esta respuesta dice que $$ \frac{(mn)!}{(m!)^nn!}=\prod_{k=1}^n\binom{mk-1}{m-1} $$ Conecte $m=10$ $n=20$ para obtener $$ \frac{200!}{10!^{20}\,20!}=\prod_{k=1}^{20}\binom{10k-1}{9} $$ Multiplicar por $20$ para obtener $$ \frac{200!}{10!^{20}\,19!}=20\,\prod_{k=1}^{20}\binom{10k-1}{9} $$

---

Otro Enfoque

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \binom{kn}{n} &=\frac{(kn-n+1)(kn-n+2)\cdots(kn-1)\,kn}{1\cdot2\cdots(n-1)\,n}\\ &=\frac{(kn-n+1)(kn-n+2)\cdots(kn-1)\,k}{1\cdot2\cdots(n-1)}\\ &=\binom{kn-1}{n-1}\,k \end{align} $$ Por lo tanto, ya podemos escribir un multinomial como un producto de binomios, $$ \begin{align} \frac{(mn)!}{n!^m} &=\prod_{k=1}^m\binom{kn}{n}\\ &=\prod_{k=1}^m\binom{kn-1}{n-1}\,k\\ &=m!\,\prod_{k=1}^m\binom{kn-1}{n-1} \end{align} $$ y así $$ \frac{(mn)!}{n!^m\,m!}=\prod_{k=1}^m\binom{kn-1}{n-1} $$ Conecte $m=20$ $n=10$ y multiplicar por $20$ para obtener $$ \frac{200!}{10!^{20}\,19!}=20\,\prod_{k=1}^{20}\binom{10k-1}{9} $$

Answer 4

Una versión larga: $$\frac{200!}{10!^{20} \cdot 19!}=\frac{30\cdot31\cdot .. \cdot200}{10!^{19}}\cdot \frac{29!}{10!\cdot(29-10)!}=...$$ que es $$...=\frac{30\cdot31\cdot .. \cdot200}{10!^{19}}\cdot \binom{29}{10}=\\ \frac{\color{red}{30} ..\color{red}{40} ..\color{red}{50} ..\color{red}{60}..\color{red}{70}..\color{red}{80}..\color{red}{90}..\color{red}{10^2}..\color{red}{110}..\color{red}{120}..\color{red}{130}..\color{red}{140}..\color{red}{150}..\color{red}{160}..\color{red}{170}..\color{red}{180}..\color{red}{190}..\color{red}{2\cdot10^{2}}}{10!^{19}}\cdot \binom{29}{10}=...$$ $20$ números divisibles por 10, o $$3\cdot4\cdot5\cdot..\cdot9\cdot11\cdot..\cdot19\cdot20\cdot\frac{31..39\cdot41..49\cdot51..59\cdot..\cdot191..199}{9!^{19}}\cdot \binom{29}{10}=\\ 10\cdot\frac{2..9\cdot11..19\cdot31..39\cdot41..49\cdot51..59\cdot..\cdot191..199}{9!^{19}}\cdot \binom{29}{10}=...$$ la cardinalidad de a $\{31,41,51,61,71,81,91,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191\}$ es de 17 $$...=10\cdot \frac{1..9}{9!}\cdot\frac{11..19}{9!}\cdot\frac{31..39}{9!}\cdot..\cdot\frac{191..199}{9!}\cdot \binom{29}{10}=\\ 10\cdot \binom{9}{9} \cdot \binom{19}{9} \cdot \binom{39}{9}\cdot .. \cdot \binom{199}{9} \cdot \binom{29}{10}$$

Answer 5

Considere la posibilidad de $V=(10k+1)*....*(10k+9) $.

Por su razonamiento, ${10k+9 \choose 9}=(10k+1)*....*(10k+9)/9! $ es un número entero.

Y $10(k+1)/10(k+1)$ es un número entero.

Por lo $(10k+1)*....*(10 (k+1)) $ es divisible por $9!*10*(k+1)=10!*(k+1)$.

Por lo $200! $ es divisible por $10!*1*10!*2*10!*3*.....*10!*19=(10!)^{20}*19! $