Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano (no necesariamente generado finitamente) en el que todos los elementos tienen orden 1, 2 ó 4. ¿Se deduce que $A$ puede escribirse como una suma directa $(\bigoplus _\alpha \mathbb Z/4) \oplus (\bigoplus_\beta \mathbb Z/2)$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lo que dije en los comentarios es cierto, y lleva el nombre de
Primer teorema de Prüfer : Un abeliano $p$ -grupo $G$ con exponente acotado (un entero $k$ tal que $g^k=1$ para todos $g\in G$ ) es una suma directa de subgrupos cíclicos.
La prueba es por inducción en $k=p^e$ el caso base $e=1$ siendo el caso del espacio vectorial.
Para el paso inductivo, escribe $pG=\oplus_\alpha\langle g_\alpha\rangle$ y elija $h_\alpha$ en $G$ con $ph_\alpha=g_\alpha$ . Entonces el $h_\alpha$ generan un subgrupo de $G$ (llámalo $H$ ) que es una suma directa de $\langle h_\alpha\rangle$ . Dejemos que $L$ sea un subgrupo de $G$ , máxima con respecto a tener una intersección trivial con $H$ . Entonces $L$ es también una suma directa de subgrupos cíclicos (por el caso del espacio vectorial), y se puede demostrar $G=H\oplus L$ .
Referencia: Fundamentos de la teoría de grupos de Kargapolov y Merzljakov, $\S$ 10.
Adam Malter
Puntos
96
Sí. Obsérvese que dicho grupo abeliano es lo mismo que un módulo sobre el anillo $\mathbb{Z}/4$ . Obsérvese también que el anillo $\mathbb{Z}/4$ es inyectiva como módulo sobre sí misma (esto es fácil de comprobar por el criterio de Baer, ya que el único ideal propio no trivial en $\mathbb{Z}/4$ es $(2)$ ). Ahora dejemos que $A$ ser un $\mathbb{Z}/4$ -módulo. Si $A$ tiene un elemento de orden $4$ ese elemento genera un submódulo isomorfo a $\mathbb{Z}/4$ . Desde $\mathbb{Z}/4$ es un módulo inyectivo, $A$ se divide como una suma directa $\mathbb{Z}/4\oplus A'$ para algún submódulo $A'\subset A$ . Si $A'$ tiene un elemento de orden $4$ podemos separar un sumando directo de $\mathbb{Z}/4$ de ella, y así sucesivamente.
Repitiendo este proceso por inducción transfinita hasta que no haya elementos de orden $4$ izquierda, podemos escribir $A$ como una suma directa $B\oplus C$ donde $B$ es una suma directa de copias de $\mathbb{Z}/4$ y $C$ no tiene elementos de orden $4$ . Pero entonces cada elemento de $C$ tiene orden $1$ o $2$ Así que $C$ es un $\mathbb{Z}/2$ -espacio vectorial. Así, $C$ es una suma directa de copias de $\mathbb{Z}/2$ y $A=B\oplus C$ es la descomposición de la suma directa que pides.
sewo
Puntos
58
Llamar a un conjunto $S\subseteq A$ "bueno" si
- $S$ no contiene $a^2$ para cualquier $a\in A$ .
- Siempre que $s_1^{m_1}s_2^{m_2}\cdots s_n^{m_n}=e$ donde $s_1,s_2,\ldots,s_n$ son diferentes elementos de $S$ tenemos $s_1^{m_1}=e$ .
Aplicar el lema de Zorn a la familia de subconjuntos buenos de $A$ (ordenados por inclusión).
Demuestre que un conjunto bueno máximo corresponde a una suma directa como en la pregunta.
