¿Lo que aparentemente inofensivos resultados en matemáticas requieren avanzadas pruebas?

Question

Estoy interesado en encontrar una colección de básicos de los resultados en matemáticas que requieren más avanzados métodos de prueba. En esta lista no estamos interesados en los resultados básicos que han tedioso pruebas simples que pueden estar conectadas a través de métodos más avanzados pero los resultados básicos que necesariamente requieren de métodos avanzados.

Agradezco la pregunta que se hace aquí es muy similar a otra pregunta sobre este sitio web: parece sencillo, pero en realidad no lo es. Gracias por señalarlo. Sin embargo, en mi opinión, no difieren significativamente (esto es discutible). El objetivo principal de esta discusión fue encontrar ejemplos que son de fácil digestión para los no-estudiantes avanzados de matemáticas y disciplinas afines. Esto, espero, va a promover la discusión de la dicotomía entre lo que se considera trivial de matemáticas de la perspectiva y lo que puede considerarse intuitiva. Muy a menudo menos experiencia que los estudiantes tienden a pasar por alto bastante intuitiva de los resultados bajo el supuesto de la prueba de la siguiente manera fácilmente. Este espero ser un buen recurso para mostrar que no es el caso.

En particular, tenía la esperanza de encontrar una lista de los problemas que puede parecer intuitivo en la inspección, pero están fuera del alcance de los métodos de primaria. La declaración del teorema debe ser capaz de ser comprendido por jóvenes estudiantes de pregrado, pero la prueba en lugar inaccesible. Se puede también mencionar primaria ¿por qué fallan los métodos para arrojar alguna luz sobre el problema.

Muchas gracias

Answer 1

Los Besos Problema de Número de pregunta, dada una esfera sólida, ¿cuántas esferas sólidas del mismo tamaño se pueden colocar tangente a ella. Por ejemplo, ¿cuántas bolas de billar se puede poner en contacto con la superficie de otra bola de billar antes de ejecutar fuera de espacio.

Tratando de usted mismo, usted va bastante rápido llegado a la conclusión de que el 12 es el máximo. No sólo no parece ser una manera de encajar un 13 de allí, aunque hay un poco de espacio extra. Y matemáticamente, es fácil construir una solución para el 12 (de inscribir el icosaedro, el lugar en los vértices) y demostrar que el 14 es imposible (triangular los puntos tangentes--no hay suficiente área de la superficie de la esfera para ellos).

Pero una prueba plena de que el 13 es imposible no fue resuelto hasta 1953, aunque el problema se remonta a Isaac Newton.

Answer 2

Uno de los favoritos de todos los tiempos es la siguiente principio:

Si se establece $A$ tiene mayor cardinalidad que el conjunto de $B$, a continuación, establezca $2^A$ tiene mayor cardinalidad que el conjunto de $2^B$.

Aunque aparentemente inocuos, esto es en realidad independiente de ZFC.

Hamkins se refiere a esto como el Powerset Tamaño Axioma (PSA) en

Hamkins, Joel David El conjunto de la teoría de la multiverso. Apo. Symb. Registro. 5 (2012), no. 3, 416-449, arxiv: 1108.4223.

Answer 3

Jordan Teorema de la Curva de una curva cerrada simple en el plano, separa al plano en dos regiones disjuntas, el interior y el fuera. Durante mucho tiempo este resultado fue considerado tan obvio que no uno molestado a estado el teorema de, digamos probarlo.

https://people.math.osu.edu/fiedorowicz.1/math655/Jordan.html

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Hilbert del décimo problema es el décimo en la lista de los problemas matemáticos que el matemático alemán David Hilbert planteó en el año 1900. Es es el reto de proporcionar un algoritmo que, dado cualquier Ecuación de Diophantine (una ecuación polinómica con coeficientes enteros y un número finito de incógnitas) puede decidir si la ecuación tiene una solución con todas las incógnitas tomar valores enteros.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

En este caso se tomó métodos avanzados para demostrar que no existe tal algoritmo.

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Alrededor de 1637, Fermat escribió [en latín] en el margen de un libro que [más] ecuación general $a^n + b^n = c^n$ no tiene soluciones en los enteros positivos, si $n$ es un número entero mayor que $2$. Aunque afirmó tener un general de la prueba de su conjetura de Fermat no dejó detalles de su prueba, y no hay pruebas de que él nunca se ha encontrado. Su reclamación fue descubierto algunas 30 años más tarde, después de su muerte. Esta afirmación, que llegó a ser conocida como Último Teorema de Fermat, estaba sin resolver en matemáticas por la siguiente tres siglos y medio.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

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La conjetura de Kepler, nombrado después de que el siglo 17 matemático y el astrónomo Johannes Kepler, es un teorema matemático sobre la esfera embalaje en un espacio tridimensional Euclidiano. Dice que no la disposición de igual tamaño esferas de relleno de espacio que tiene un mayor la densidad media de la de la cúbico cerca de embalaje (centrado en las caras- cúbicos) y hexagonal embalaje cerca de los arreglos. La densidad de estos los arreglos es de alrededor de 74.05%.

https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture

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$\pi$ es transcendendental

Esto es fácil de estado, se sospechaba antes de que se probó, y no es fácil de probar.

Pensamos, pero no saben que $\pi$ es normal.

Lo difícil es la prueba de $\pi$ o $e$ trascendental?

https://mathoverflow.net/questions/34055/transcendence-of-pi

Answer 4

Teorema de Monsky: no es posible dividir un cuadrado en un número impar de triángulos tienen áreas iguales.

A pesar de la declaración del teorema ser engañosamente elemental, su prueba requiere argumentos combinatorios y algebraicas más bien involucrados.

Answer 5

La Peluda Bola Teorema: usted no puede peine a un peludo bola plana sin creó un copete, o: una continua tangente campo de vectores en la esfera debe desaparecer en algún lugar.

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          ^{La cabeza del bebé de la foto de Surrey Física Blog.}

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Uno puede peinar a un peludo toro, sin embargo.

John Milnor, "Analítica de las pruebas de la 'bola peluda teorema'", Americana de Matemáticas. Mensual, 85 (1978), 521-524.