¿Con qué frecuencia se usa $x\to\infty$ para denotar ($x\to +\infty$ o $x\to -\infty$)?

Question

¿Con qué frecuencia se usa $x\to\infty$ para denotar ($x\to +\infty$ o $x\to -\infty$)?

Tanto mi libro de texto como mi profesor usan $x\to\infty$ como se muestra arriba, por lo que para nosotros es falso que $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$ y el límite no existe aquí.

Pero aquí en M.SE todos quieren decir $x\to +\infty$ cuando escriben $x\to\infty$ y así es como Wikipedia lo define, así que creo que nuestra notación es inusual. ¿Lo es? ¿Los matemáticos alguna vez la utilizan?

Answer 1

Sí, $x\to \infty$ normalmente significa $x\to +\infty$. Lo que probablemente quieres decir se denota por lo general como $|x|\to \infty$. Pero claro, no está mal si tu profesor utiliza otra notación siempre y cuando esté bien definido al comienzo del curso.

Answer 2

En algunas tradiciones docentes (por ejemplo en Italia), hay tres tipos de infinito. Estoy seguro de que esta tradición no es muy popular hoy en día, pero todavía hay profesores que la siguen, en escuelas secundarias si no en universidades.

Me enseñaron límites en la escuela secundaria distinguiendo entre $+\infty$, $-\infty$ y “infinito no firmado”:

• $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=l$ significa que, para cada $\varepsilon>0$, existe $M>0$ tal que, para todo $x>M$, $|f(x)-l|<\varepsilon$;

• $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=l$ significa que, para cada $\varepsilon>0$, existe $M>0$ tal que, para todo $x<-M$, $|f(x)-l|<\varepsilon$;

• $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=l$ significa que, para cada $\varepsilon>0$, existe $M>0$ tal que, para todo $x$ con $|x|>M$, $|f(x)-l|<\varepsilon$.

• $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ significa que, para cada $N>0$, existe $\delta>0$ tal que, para todo $x$ con $0<|x-a|<\delta$, $f(x)>N$;

• $\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty$ significa que, para cada $N>0$, existe $\delta>0$ tal que, para todo $x$ con $0<|x-a|<\delta$, $f(x)<-N$;

• $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$ significa que, para cada $N>0$, existe $\delta>0$ tal que, para todo $x$ con $0<|x-a|<\delta$, $|f(x)|>N$.

Aquí se supone que $a$ está en $\mathbb{R}$. Dejaré fuera la definición similar de límite infinito en uno de los tres tipos de infinito. Por lo general, se usaba muy poco cuidado al declarar cuál se suponía que era el dominio de la función.

Así que tuvimos que aprender nueve definiciones diferentes, solo para permitir decir que $$ \lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty $$ (infinito no firmado) o que $\lim_{x\to\infty}x^3=\infty$.

Por supuesto, el hecho de que, al establecer $$ f(x)=\begin{cases} 1/x & \text{para $x\ne0$ racional}\\ -1/x & \text{para $x$ irracional} \end{cases} $$ uno pueda decir, de acuerdo con las definiciones anteriores, que $$ \lim_{x\to0}f(x)=\infty $$ no hizo sonar ninguna campana en las mentes de esos profesores.

Por supuesto que hay cierto método en esta locura: para funciones racionales, la noción de “infinito no firmado” tiene sentido, porque simplemente denota el punto en el infinito de una línea paralela a uno de los ejes. Sin embargo, para qué sirve esto, aparte de confundir las ideas de los estudiantes, aún tengo que descubrirlo.

En cuanto abandonamos las funciones racionales, esas distinciones tontas no sirven absolutamente para nada. En el caso bajo examen, el límite en el infinito no firmado (según la definición anterior) puede tener sentido o no, dependiendo de cómo se establezcan los requisitos sobre los dominios de las funciones.

Bajo algunas convenciones, cuando se dice “para todo $x$ tal que $[\dots]x[\dots]$, tenemos $[\dots]f(x)[\dots]$” la condición “$x$ en el dominio de la función” está subsumida. Bajo otras convenciones, la función debe estar definida en algún vecindario (perforado) del punto bajo examen.

No hay un consenso general, que yo sepa. Principalmente depende del nivel al que se presente el material.

En cualquier caso, la afirmación de que $\lim_{x\to\infty}1/\sqrt{x}$ no existe podría ser cierta (según alguna convención establecida), pero no parece transmitir información útil sobre la función.

Answer 3

No es inusual escribir $x\to\infty$ cuando se quiere decir $x\to+\infty$, siempre que el contexto aclare el significado. Existe una diferencia sustancial entre $\pm\infty$ en cosas como $$ \lim_{x\to+\infty} \frac 1 {1+2^x} = 0\ \text{ y }\lim_{x\to-\infty}\frac 1 {1+2^x} = 1. $$ En expresiones como $\lim\limits_{x\to\pi/2} \tan x = \infty$, tiene sentido considerar este $\infty$ como el $\infty$ que está en ambos extremos de la línea, haciendo que la línea (topológicamente) sea un círculo, o considerar $\infty$ como el $\infty$ al que se aproxima permitiendo que la distancia desde $0$ en el plano complejo se acerque a $+\infty$ sin importar la dirección en la que se vaya, haciendo que el plano (topológicamente) sea una esfera. Del mismo modo, en $\lim\limits_{z\to\infty}\dfrac{5z+3}{z-2}=5$, el $\infty$ no es ni $+\infty$ ni $-\infty$.

Sin embargo, sería un error pensar que una distinción entre $+\infty$ y $-\infty$ no tiene lugar en el análisis complejo, ya que en expresiones como $$ \sum_{k=M}^N\cdots\cdots, $$ se puede dejar que $M\to-\infty$ o $N\to+\infty$.

Answer 4

De hecho, $x \to + \infty$ y $x \to -\infty$ son cosas diferentes. Por ejemplo, dado $L \in \Bbb R:

• $\lim_{x \to +\infty}f(x) = L$ significa que para todo $\epsilon > 0$ existe $x_0 \in \Bbb R$ tal que $x > x_0$ implica $|f(x)-L|<\epsilon$.

• Y $\lim_{x \to -\infty}f(x) = L$ significa que para todo $\epsilon > 0$ existe $x_0 \in \Bbb R$ tal que $x < x_0$ implica $|f(x)-L| < \epsilon.

La única situación que puedo imaginar ahora en la que $x \to +\infty$ no causaría ambigüedad es si $x$ denotara una variable compleja: en $\Bbb C$ no tenemos $+\infty$ ni $-\infty$, solo $\infty$, diciendo que $\lim_{z \to +\infty} f(z) = L$ para significar que $\lim_{z \to 0}f(1/z) = L$.