La desigualdad en el Álgebra: $1 \leq x_1 x_2 \cdots x_n$ implica que el $2^{n} \leq (1 + x_1)(1+x_2) \cdots (1 + x_n).$

Question

¿Cómo puedo probar que si $x_1, \ldots, x_n$ son números reales positivos, entonces $$1 \leq x_1 x_2 \cdots x_n \text{ implies that } 2^{n} \leq (1 + x_1)(1+x_2) \cdots (1 + x_n).$$

Intenté hacer una prueba por inducción, pero no soy capaz de clavar el paso inductivo. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Sugerencia $$x_{i}+1\ge 2\sqrt{x_{i}}$$

Answer 2

$$(1+x_1)(1+x_2)\dotsb(1+x_n)=(1+x_1+x_2+\dotsb+x_{n-1}+x_n)+(x_1x_2+x_1x_3+\dotsb+x_{n-1}x_n)+\dotsb+x_1x_2\dotsb x_n$$ Ahora el uso de AM-GM de la desigualdad por el lado derecho de la ecuación anterior con $2^n$ términos.

Answer 3

Sugerencia: Utilice el siguiente formulario de inducción:

• Si $P(n)$,$P(2n)$.
• Si $P(n)$$P(n-1)$.

Answer 4

SUGERENCIA: Ampliar la RHS y recoger los términos de igual grado. A continuación, utilice AM-GM en estas colecciones por separado. Por ejemplo, la primera colección sería $$\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{\binom n1}\ge(x_1x_2x_3...x_n)^{\frac 1n}\ge 1$$ Hence $$\sum_{i=1}^nx_i\ge \binom n1$$ Add all these results and use the fact that $$\sum_{i=0}^n\binom ni=2^n$$ Que conduce a la respuesta.

Answer 5

Estamos dado que el $x_1, x_2, \cdots, x_n$ son números reales positivos y $x_1x_2\cdots x_n\geq 1\forall n\in \mathbb N$.

Tenemos que mostrar a $(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n)\geq 2^n$.

Para $n=1$ el resultado es trivial como $x_1\geq 1\Rightarrow (1+x_1)\geq 1+1=2^1.$

Deje que el resultado sea verdadero para $n=m$ es decir $x_1x_2\cdots x_m\geq 1$ implica $$(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_m)\geq 2^m$$ Multiplicando ambos lados por la desigualdad de $1+x_{m+1}\geq 2$ vemos que $$(1+x_1)\cdots(1+x_m)(1+x_{m+1})\geq 2^{m+1}$$ which shows that the inequality is true for $n=m+1$ whenever it is true for $n=m$.

La inducción completa ahora.