La matriz P para la potencia de 4, yo.e $P^4$, es lo mismo como $P^2 \cdot P^2$?

Question

Básicamente, lo que dice en el título.

Tengo un $5 \times 5$ matriz y necesito trabajar $P^4$, es posible just do $P^2$ y multiplicar esta con la misma?

Answer 1

Tengo un $5 \times 5$ matriz y necesito trabajar $P^4$, es posible just do $P^2$ y multiplicar esta con la misma?

Sí, ¿Por Qué?: Debido a Una plaza matriz siempre los viajes con la misma, en virtud de la multiplicación de la matriz.

$\quad\;\;$¿Por QUÉ? Debido a la multiplicación de la matriz (cuando bien definido) es asociativa. $$P\cdot (P \cdot (P\cdot P)) = P\cdot ((P \cdot P)\cdot P) = (P\cdot (P\cdot P)) \cdot P$$ $$= ((P\cdot P) \cdot P) \cdot P = (P\cdot P) \cdot (P \cdot P) = P^2\cdot P^2 = P^4.$$

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Pero tenga cuidado.
En general, para las matrices cuadradas $A, B$ tal que $P = AB$, $$P^4 = (AB)^4 = (AB)^2\cdot (AB)^2 \ne A^2 \cdot A^2\cdot B^2 \cdot B^2 = A^4\cdot B^4$$ since here, we cannot assume that $Un$ and $B$ commute.

Answer 2

¿Qué $P^4$ significa para usted? Podría significar $$P\cdot P\cdot P\cdot P$$ but this is not exactly defined until you agree that matrix multiplication is asociative. Otherwise $P^4$ should mean something like $$((P\cdot P)\cdot P)\cdot P$$ Now if you believe that the multiplication is associative, then this is the same as $$(P\cdot P)\cdot (P\cdot P)$$ which is almost certainly what you would mean by $P^2\cdot P^2$.