Clúster De Expansión

Question

En el clúster de expansión (sección 5.2 en M. Kardar "Estadística de la Física de Partículas") escribimos el gran canónica de la función de partición. Durante la expansión, hacemos el siguiente cambio entre una suma y un producto: $$ \sum\limits_{\{n_l\}} \prod_l \frac{1}{n_l!}\left(\frac{e^{l\beta\mu} b_l}{\lambda^{3l l}!}\right)^{n_l} = \prod_l \sum\limits_{n_l=0}^\infty \frac{1}{n_l!}\left(\frac{e^{l\beta\mu} b_l}{\lambda^{3l l}!}\right)^{n_l} $$ ($l$ es el tamaño del clúster, y $n_l$ es el número de clusters)

Estoy tratando de entender por qué esto está bien. Pensé que $ \sum\limits_{\{n_l\}} \prod_l$ significa que vamos sobre todos los posibles conjuntos de números de clúster (e.g 5 clusters de tamaño 1, 3 de tamaño 2, etc..) pero en este caso, ¿cuál es el significado del producto? Cómo es la conexión entre el $n_l$ $l$ aparente?

$\prod_l \sum\limits_{n_l=0}^\infty $ es mucho más clara - para cada tamaño de clúster, nos fijamos en todos los números de lo posible.

Answer 1

En primer lugar, permítanme explicar lo que la notación significa. La suma de $\{n_\ell\}$ es una suma sobre todos los valores posibles de a $n_\ell$, para cada uno de los posibles valores de $\ell$ (en otras palabras, $\{n_\ell\}$ especifica que los valores de $n_1,n_2,n_3,\ldots)$. Luego, una vez que estos valores son fijos, se toma el producto de todas las funciones de $f_\ell(n_\ell) = \frac{1}{n_\ell!}\bigl( \frac{e^{\ell\beta\mu}b_\ell}{\lambda^{3\ell}\ell!} \bigr)^{n_\ell}$ (para estos valores específicos de $n_1,n_2,n_3,\ldots$).

La identidad es, entonces, esencialmente, la linealidad de la suma. Permítanme explicar suponiendo (para facilitar la notación) que el único permitido tamaños de clúster se $1$$2$. Entonces: \begin{eqnarray} \sum_{\{n_1,n_2\}} f_1(n_1)f_2(n_2) &=& \sum_{n_1\geq 0} \sum_{n_2\geq 0} f_1(n_1) f_2(n_2)\\ &=& \Bigl(\sum_{n_1\geq 0} f_1(n_1)\Bigr) \Bigl(\sum_{n_2\geq 0} f_2(n_2)\Bigr)\\ &=& \prod_{\ell=1}^2 \sum_{n_\ell\geq 0} f_\ell(n_\ell), \end{eqnarray} donde la segunda identidad de la siguiente manera por primera sacando $f_1(n_1)$ fuera de la suma de $n_2$ y, a continuación, tirando de $\sum_{n_2} f_2(n_2)$ fuera de la suma de $n_1$.