¿Por qué es esta definición de números complejos "informal"?

Question

Estoy leyendo el proofwiki página sobre el número complejo: https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complex_Number

De acuerdo a proofwiki hay una manera informal y formal de las definiciones de los números complejos. El sector informal de la definición es que un número complejo es igual a $a+bi$ donde $a,b \in \Bbb R$ e donde: $i$ se define como la raíz cuadrada de $-1$. ¿Qué es informal acerca de esta definición ?

Supongo que esto es porque usted puede definir $i$, por lo que el $i^2=-1$. Pero yo no entienden completamente por qué es así. Sería formal si he definido $i$ como un número que tiene todas las propiedades de campo de los números reales, y $i^2=-1$ ?

El único problema que veo es que se podría argumentar que hay 2 de esos números. Por lo que se supone ? Pero si usted demostrar que no importa lo que usted elija, sería esta definición, a continuación, ser formal ?

Btw, estoy consciente de que mi razonamiento es incorrecto, pero creo que es útil si la puedo compartir lo que está pasando en mi mente.

Answer 1

Esta definición es "informal" porque la raíz cuadrada se define como una función de $\mathbb R^+ \to \mathbb R$, e $\sqrt{-1}$ no tiene ningún sentido en términos de la definición anterior.

De hecho, la manera formal está cerca de lo que usted dice. Completamente formalmente dentro de la teoría de conjuntos, una forma de definir los números complejos es por pares $(a,b)\in \mathbb R^2$, y definir, además de a $(a,b)+(a'+b')=(a+a',b+b')$ y la multiplicación $(a,b)\times(a'+b')=(aa'-bb',ab'+b'a)$. A continuación, $i$ es sólo un acceso directo notación para $(0,1)$, y cuando escribimos $a+ib$ que realmente queremos decir $(a,b)$.

Answer 2

No se puede dejar que un deus ex machina hacer todo su trabajo y entregar un objeto con las propiedades que desee. Usted puede preguntarse ¿qué sucede si un objeto existe, pero para justificar sus pensamientos que usted tiene que crear un modelo en el que este objeto está definido y tiene las propiedades deseadas.

En este caso en particular, si usted trabaja con algunos de los modelos indicados anteriormente resulta que todo el resultado de la misma (hasta el cambio de nombre de los elementos) $C$ (cumpliendo con todas las propiedades de campo!) que contiene los reales (en particular contiene $-1\in R$) y en los que existe algún número $i$ satisfacción $i^2=-1$, y en el que además cada número puede ser escrito como $a+bi$, $a,b\in R$. Una vez que usted sabe que estos modelos existe pensamientos antes de que se justifica.

Answer 3

Creo que la respuesta por Denis identifica correctamente lo que es "informal" sobre la primera definición.

Yo también creo que la primera definición tal vez sería mejor etiquetada como "histórico" de la definición, como parece ser la forma en la que los números complejos se empezó a usar en el primer lugar. Si nos fijamos en algunos de los textos antiguos se explica la solución de la ecuación cúbica, por ejemplo, usted puede encontrar la notación $rm1$ (o algo así; esto es de memoria), donde evidentemente $m$ indica un número negativo ("menos") y $r$ indica tomando la raíz cuadrada. En otras palabras, la gente comenzó a trabajar con números complejos mediante la introducción de la nueva cantidad $\sqrt{-1}$ en sus fórmulas.

Para resumir algunos de los otros de la discusión, usted podría , en realidad, hacer una definición formal que introdujo un nuevo objeto de $i$ con la necesaria axiomas ($i^2 = -1$, no estoy seguro de qué más), pero usted puede hacer un modelo de $\mathbb{C}$ usando nada más que el mismo conjunto de la teoría de los axiomas y las definiciones de los cuales se puede construir $\mathbb{R}$, así que ¿por qué desea introducir un nuevo axioma?

De regreso al punto de vista histórico, en el momento en $\mathbb{C}$ se había inventado la ZFC definición de $\mathbb{R}$ aún era desconocida, por lo que se utiliza para modelar $\mathbb{C}$ no era una opción. Pero eso fue entonces y esto es ahora.