Propiedades de los primos de Fermat

Question

Los primos de Fermat 17 y 257 aparecen mucho en la composición prima de los números de la forma $a^{2^n}+1$ . Por ejemplo, $11^8+1$ es divisible por 17 y $11^{32}+1$ es divisible por 257. He comprobado el siguiente enunciado para 3, 5, 17 y 257 pero no puedo demostrarlo. Agradecería que alguien me diera una pista.

Dejemos que $F = 2^{2^k} + 1$ sea un primo de Fermat.
Entonces para $n=0, 1, ..., 2^k-1, x^{2^n} + 1 \equiv 0 \mod F$ tiene exactamente $2^n$ soluciones.

Por ejemplo, cuando k=2 tenemos:
$(n=0) \hspace{10pt} x^1 + 1 \equiv 0 \mod 17$ tiene una solución (x=16).
$(n=1) \hspace{10pt} x^2 + 1 \equiv 0 \mod 17$ tiene dos soluciones (x=4 y 13).
$(n=2) \hspace{10pt} x^4 + 1 \equiv 0 \mod 17$ tiene cuatro soluciones (x=2, 8, 9 y 15).
$(n=3) \hspace{10pt} x^8 + 1 \equiv 0 \mod 17$ tiene ocho soluciones (x=3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 y 14).

Answer 1

Hay varias cosas que hay que tener en cuenta en el espacio, con microgravedad o sin ella.

1. "No hay pruebas de que el funcionamiento auditivo humano cambie en el espacio". Fuente: MSIS

2. La microgravedad significa que no hay circulación natural de aire . Por lo tanto, los ventiladores tienen que seguir funcionando, y son ridículamente ruidosos. No es práctico dar conciertos largos en el espacio debido a la acumulación de dióxido de carbono y calor en la burbuja que rodea al intérprete.

3. Algunas naves espaciales tripuladas están diseñadas para una presión de aire más baja y/o una composición de gas diferente, lo que cambia el contenido de frecuencia del habla, las canciones y los instrumentos musicales.

4. Los espacios internos de las naves espaciales tripuladas no están optimizados para la música. Cuando se requiere la comunicación mediante el habla, el tiempo de reverberación se fija en 0,5 segundos. Fuente: MSIS 5.4.3.2.2.1

Aunque sólo el número 2 de arriba está directamente relacionado con los entornos micro-g, pensé que había que conocer también otras limitaciones.

EDIT: para ver una actuación un poco más implicada en el espacio, vea esto clip (Ian Anderson y Catherine "Cady" Coleman).

EDITAR #2:

Fuente: http://spaceflight.nasa.gov/feedback/expert/answer/isscrew/expedition7/index4.html

De: Alain Haezebaert, Mennecy, Essonne, Francia, Edad: 56

Pregunta: En una de las últimas fotos de la ISS he visto un teclado musical con Ed y Yuri vestidos con camisas de nativos hawaianos. No sé quién está tocando el piano pero mi pregunta es: Debido a la falta de gravedad es más difícil o más fácil tocar y finalmente los sonidos son los mismos que en la Tierra.

Lu: Definitivamente, sí. Porque, en primer lugar, el mero hecho de presionar los pedales -presionar el teclado- te aleja del teclado. Necesitas algo que te sujete. Lo primero que preparé fue un par de correas en las que podías poner los pies y mantenerte ahí. Pero descubrí que eso no funcionaba muy bien, porque también tienes que poner un pedal ahí abajo. Cuando presionas el pedal en un lado, empuja tu cuerpo. Así que tiene una tendencia a voltearte al revés. No podías tocar por mucho tiempo porque te torcías lentamente fuera de posición. Así que más allá de eso, tengo que montar una especie de cinturón de seguridad que me sujeta a la pequeña mesa sobre la que está montado el piano. Incluso eso no funciona tan bien, pero sigo trabajando en ello.

Answer 2

Esto replantea la respuesta de Henning. (Esa es de abajo hacia arriba, esta es de arriba hacia abajo, lo que me gusta más personalmente)

El pequeño teorema de Fermat dice que $x^{2^{2^k}}-1$ tiene $2^{2^k}$ solución mod. $p$ . Ahora $x^{2^{2^k}}-1 = \left (x^{2^{2^{k-1}}} - 1 \right)\left(x^{2^{2^{k-1}}} + 1 \right)$ Cada factor tiene como máximo $2^{2^{k-1}}$ soluciones porque el grado de cada factor es $2^{2^{k-1}}$ . Como su producto tiene $2^{2^k}$ soluciones nos vemos obligados a concluir que cada factor tiene exactamente $2^{2^{k-1}}$ soluciones.

Ahora toma el factor $x^{2^{2^{k-1}}} - 1$ y repetir el mismo argumento.

Answer 3

[Eliminé mi generalización anterior por esto]

Teorema aún más general con una prueba aún más fácil:

Si $p$ es primo y $2d|p-1$ entonces el número de soluciones de $x^d+1=0$ en $\mathbb{F}_p$ es $d$ .

Prueba:

Desde $\mathbb{F}_p^\times$ es un grupo cíclico de orden $p-1$ el número de soluciones para $x^{2d}-1=0$ es $2d$ y el número de soluciones de $x^d-1=0$ debe ser $d$ por lo que el número de soluciones de $x^d+1=0$ debe ser $d$ .

Esto utiliza dos conocimientos:

Lema: $\mathbb{F}_p^\times$ es un grupo cíclico de orden $p-1$ .

Lema: Si $G$ es un grupo cíclico de orden $n$ y $m|n$ el número de soluciones de $x^m=1$ en $G$ es $m$ .

Incluso de forma más general: Si $a\in\mathbb{F}_p^\times$ es de orden $n$ y $dn|p-1$ entonces el número de soluciones de $x^d = a$ es $d$ . (El teorema anterior corresponde al caso $a=-1$ y $n=2$ .)

En general: Si $(C_m,\times)$ es un grupo cíclico de orden $m$ y $a\in C_m$ es de orden $n$ y $d\geq 1$ , dejemos que $d_0=\gcd(m,d)$ . Entonces $x^d=a$ tiene soluciones en $C_m$ si y sólo si $d_0n|m$ en cuyo caso, habrá exactamente $d_0$ soluciones.