Necesito demostrar que $\mathcal{F}=\{f\in \mathcal{O}(\mathbb{H}): |f(z)|\neq 5 \forall z \in \mathbb{H}\}$ es una familia normal. Aquí $\mathbb{H}$ es el medio plano superior y $\mathcal{O}(\mathbb{H})$ son todas las funciones holomorfas sobre $\mathbb{H}$ . Desde $\mathbb{H}$ está conectado y cada $f\in \mathcal{F}$ es continua vemos que o bien $f(\mathbb{H})\subset \{z\in \mathbb{C}: |z|<5\}$ o $f(\mathbb{H})\subset \{z\in \mathbb{C}: |z|>5\}$ . Vamos a dividir $\mathcal{F}$ en las dos subfamilias que acabamos de mencionar: $\mathcal{F_{1}}$ y $\mathcal{F_{2}}$ respectivamente. Quiero utilizar el teorema de Montel, así que tengo que establecer una cota uniforme para cada compacto $K\subset\mathbb{H}$ . Este trivial para $\mathcal{F_{1}}$ pero no sé cómo hacer esto para $\mathcal{F_{2}}$ . Cualquier sugerencia o respuesta será muy apreciada.
Respuesta
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Lasse Rempe-Gillen
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Supongo que con el teorema de Montel te refieres a su forma más sencilla: una familia de funciones que está (localmente) acotada es normal.
(Esta es la "versión de las familias normales" del teorema de Liouville, y la más fácil de demostrar).
Como usted menciona, la familia $\mathcal{F}_1$ es normal por este teorema.
Para demostrar que $\mathcal{F}_2$ también es normal, consideremos la familia de funciones $1/f$ , para $f\in\mathcal{F}_2$ .
