Alternando la segunda potencia de Euler suma $\sum_{k\geq 1} \frac{(H'_k)^2}{k^2}$

Question

Pregunta:

Evaluar

$$\sum_{k\geq 1} \frac{(H'_k)^2}{k^2}$$

Donde definimos la alternancia número armónico

$$H'_k=\sum_{n=1}^k\frac{(-1)^n}{n}$$

Recuerdo haber visto una forma cerrada que implican un quadrilogarithm.

Estoy interesado en saber la solución completa, si es posible.

Answer 1

Numéricamente, esto es $$ -\frac{13}{8}\zeta(4)+\frac5{2}\zeta(2)\log^22+\frac1{12}\log^42+2\mathrm{Li}_4({\textstyle\frac12}), $$ de "Evaluación Experimental de Euler Sumas" por Bailey, Borwein y Girgensohn.

Esto se puede encontrar con un entero relación algoritmo aplicado a la suma evaluada con alta precisión usando esta integral: $$ \int_0^1\frac{\log(\frac1z)dz}{z(1-z)}\left(-\zeta(2)+\log^22+2\log(1-z)\log\left(\frac{1+z}{2}\right)+2\mathrm{Li}_2\left(\frac{1-z}{2}\right)+\mathrm{Li}_2(z)\right). $$