Deje $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ ser una función. Es siempre el caso de que para algunos $x,y \in \mathbb R$, la desigualdad de $f(x-f(y))>yf(x)+x$ se mantiene?
Gracias de antemano.
Respuesta
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Supongamos $f(x− f(y)) ≤ yf(x)+x$ todos los $x,y \in \mathbb{R}$, y escribir $f(0)=\alpha,\;f(-1)=\beta$.
$\begin{aligned}\textbf{Claim}:&\quad \text{(a)}:\quad f(x)≤x+\alpha\\ &\;\;\,\text{ (b)}:\quad x>0\Rightarrow f(f(x))+1\geq 0\end{aligned}$
$\textit{Proof}:$ Deje $y = 0$ $x\mapsto x+\alpha$ y de inmediato nos han reclamación $\text{(a)}$. A continuación, establezca $x= f(y)$$0≤ y f ( f (y)) + y $$\text{(a)}$, de dónde reclamar $\text{(b)}$.
$\begin{aligned}\textbf{Claim}:\quad\text{(c)}:\quad f(x)\leq 0\end{aligned}$
$\textit{Proof}:$ Por el bien de la contradicción, supongamos $f(\xi)>0$ algunos $\xi$. Para todos los $x<\xi−\alpha$ tenemos $\;f(x)−\alpha≤x< \xi−\alpha$$\text{(a)}$. En otras palabras, $0<\xi-f(x)$. La utilización de $\text{(a)}$ y $\text{(b)}:$$$\begin{aligned}0 \underset{\text{(b)}}\leq f\big(f\big(\xi−f(x)\big)\big)+1\underset{\text{(a)}}\leq f\big(\xi− f(x)\big)+ \alpha+1 \leq xf(\xi)+\alpha+ \xi+1\end{aligned}$$ Equivalently, $-xf(\xi) \leq (1+\xi+\alpha)$ which is absurd for $-x$ sufficiently large, whence $\text{(c)}$. This is enough material for a contradiction: $\text {()}$ and $\text{(c)}$ yield $ f(x)≤x\;\text{(d)}$. For $x>0:$ $$\begin{aligned} \beta= f\Big((f(x)−1)−f(x)\Big) &≤ xf\big(f(x)−1\big)+ f(x)−1 \\&\underset{\text{(d)}}≤ (x+1)\big(f(x)−1\big)\underset{\text{(c)}}\leq −(x+1)\end{aligned}\quad\Big(\text{i.e.}\quad x\leq -(\beta+1)\Big)$$ Esto es una tontería al $x$ es lo suficientemente grande $-$ tu conjetura es correcta.
