Hay una manera fácil de evaluar este complejo integral sin descomposición parcial?

Question

$$\int_{C_2(0)}\frac{1}{z^2+z+1}\ dz$$

Donde $C_2(0)$ es la bola abierta de radio 2, centrada en 0, en el plano complejo.

El uso parcial de las fracciones y de Cauchy de la integral de la fórmula, me muestran el integral es igual a 0. Sin embargo, el parcial fracciones parte parecía innecesariamente largo aliento para mí.

No me pierdas un truco abordando el problema usando fracciones parciales?

Answer 1

Puede ser que como esta idea: Que es integral, por parte del teorema de Cauchy, es igual a

$$\tag 1 \int_{\{|z|=R\}} \frac{1}{z^2+z+1}\, dz$$

para cualquier $R>2.$, Pero el M-L cálculo de esta integral, como $R\to \infty,$ está acotada arriba por $2\pi R/(R^2-R-1) \to 0.$ $(1)$ debe ser igual a $0.$

Answer 2

Los polos de esta función se $p_\pm = -1/2\pm \sqrt{3}/2i$. Ya que ambos son simples, los residuos pueden ser calculados por $\lim_{z \rightarrow p}(z-p)f(x)$ dar $\pm \sqrt{3}i$. La residir teorema implica entonces la integral es cero, ya que ambos polos se han devanado número 1.