Demuestre que $\overline{U\cap \overline{A}}=\overline{U\cap A}.$

Question

Demuéstralo:

Para todo conjunto abierto $U$ en un espacio topológico $X$ y cada $A\subset X$ tenemos $$\overline{U\cap \overline{A}}=\overline{U\cap A}.$$

La prueba simple y nueva es bienvenida. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Claramente $\overline{ U \cap \overline{A} } \supseteq \overline{ U \cap A }$ por lo que sólo tenemos que mostrar lo contrario.

Supongamos que $x \in \overline{ U \cap \overline{ A } }$ y que $V$ sea cualquier vecindad abierta de $x$ . Entonces $V \cap ( U \cap \overline{ A } ) \neq \emptyset$ . En $V \cap U$ es abierta, de lo que se deduce que $( V \cap U ) \cap A \neq \emptyset$ y así $V \cap ( U \cap A ) \neq \emptyset$ . Por lo tanto $x \in \overline{ U \cap A }$ .

(El único paso no trivial depende del siguiente hecho, fácilmente demostrable: Si $U$ es un subconjunto abierto de un espacio topológico $X$ y $A \subseteq X$ es arbitraria, entonces $U \cap A = \emptyset$ implica $U \cap \overline{A} = \emptyset$ .)