Aquí es un ejemplo fundamental (si $G$ es finito solucionable, a continuación, $G/\Phi(G)$ es de la forma en que se describe aquí).
Deje $H$ ser un grupo de invertible $n \times n$ matrices sobre el campo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Deje $N$ ser la primaria abelian grupo de orden $p^n$, $N \cong C_p^n$. A continuación, $H$ actúa en $N$ por la multiplicación de la matriz. Deje $G = N \rtimes H$.
A continuación,$G' = [G,G] = [N,N][N,H][H,H] = [N,H] \rtimes H'$.
$[N,H] = \langle n^{-1} n^h : n \in N, h \in H \rangle$ en la notación multiplicativa, pero en notación matricial, acabamos de recibir un $$[N,H] = \langle -n + n \cdot h : n \in N, h \in H \rangle = \langle n\cdot (h-1): n \in N, h \in H \rangle = \sum_{h \in H} \newcommand{\im}{\operatorname{im}}\im(h-1)$$
Coprime acción
Si $H$ ha pedido coprime a $p$, a continuación, algunas de fantasía álgebra lineal muestra que $\ker((h-1)^n) = \ker(h-1)$ $\im(h-1)$ es un complemento directo. En otras palabras, mediante el Ajuste del lema (aplicado a la semisimple operador $h-1$), obtenemos $$N = \ker(h-1) \oplus \im(h-1) = C_{h}(N) \times [N,h]$$
El uso de un poco más de lujo versiones de estos álgebra lineal ideas incluso conseguimos $$N=\left( \bigcap_{h \in H} \ker(h-1) \right) \oplus \left(\sum_{h \in H} \im(h-1) \right) = C_H(N) \times [H,N]$$
Incluso si $N$ no es abelian ideas similares: $N=C_H(N)[H,N]$, aunque la intersección puede ser no-identidad.
Característica definitoria
Si $H$ es de orden una potencia de $p$, entonces uno tiene suerte de que el comportamiento opuesto. El polinomio mínimo de a $h$ divide $x^{p^n}-1 = (x-1)^{p^n}$, por lo que cada autovalor de a $h-1$ 0, $h-1$ es nilpotent. Por lo tanto Ajuste del lema nos dice que $N=\ker((h-1)^{p^n}) \times \im((h-1)^{p^n})$, pero que es inútil, ya que $(h-1)^{p^n}=0$, por lo que el núcleo es de $N$, y la imagen es $1$.
Si tratamos de aplicar este a $h-1$ directamente sin subir a la $p^n$th poder, entonces las cosas van muy raro. Tome $h=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$. A continuación,$\im(h-1) = \{ (0,x) : x \in C_p \}$, pero también se $\ker(h-1) = \{ (0,x) :x \in C_p \}$. Al $p=2$, esta es la $D_8$ ejemplo.
Si se quiere mayor $N$, entonces uno puede tomar $H=\langle h_1,h_2\rangle$ $$
h_1=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}, \qquad
h_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}
$$
A continuación, $\im(h_i-1)=\{ (0,0,x) :x \in C_p \}$ pero $\ker(h_1-1) = \{ (0,y,z) : y,z \in C_p \}$$\ker(h_2-1) = \{ (x,0,z) : x,z \in C_p \}$, por lo que $$\bigcap_{h \in H} \ker(h-1) = \{ (0,0,x) : x \in C_p \}$$ and $$\sum_{h \in H} \im(h-1) = \{ (0,0,x) : x \in C_p \}$$
Al $p=2$, esta es la $D_8 \operatorname{\sf Y} D_8$ ejemplo.
Observe cómo roto la descomposición está aquí.
Referencias
Kurzweil–Stellmacher, la Teoría de Grupos Finitos, Capítulo 8, es donde esta realmente empezó a tener sentido para mí.
