Cada Noetherian anillo de contener al menos un ideal maximal?

Question

Quiero demostrar que un noetherian anillo de $R \neq \{0\}$ contiene al menos un ideal maximal.

Mi idea es considerar $\langle 0 \rangle$$\langle 1 \rangle$: Si no hay ningún ideal $I$ $\langle 0 \rangle \subsetneq I \subsetneq\langle 1 \rangle$ $\langle 0 \rangle$ es máxima. De lo contrario, para cada cadena infinita $\langle 0 \rangle \subset I_1 \subset \cdots$ existe $i \in \mathbb{N}$ tal que para todo $j>i$, $I_i = I_j$. A continuación, $I_i$ es máxima.

Es eso correcto?

Answer 1

Usted tiene la idea correcta, pero la prueba no es correcta como se indica. No es verdad que cada estabilización de los extremos de la cadena en un ideal maximal. Por ejemplo, usted podría acaba de encontrar un Noetherian anillo donde se $0$ no está de máxima y sólo repiten $0 \subset 0 \subset 0 \subset \dots$

Lo que usted debe hacer es definir este proceso:

Empezar con $0$. Si $0$ es máxima, a continuación, defina $I_i = 0$$i \geq 1$. De lo contrario, encontrar un poco de ideal $I_1$ que contiene $0$ y lo puso en la lista.

$0 \subset I_1$

Si $I_1$ es máxima deje $I_i = I_1$$i \geq 2$. De lo contrario, encontrar un poco de ideal $I_2$ que contiene $I_1$ y lo puso en la lista.

Inductiva tenemos $0 \subset I_1 \subset I_2 \subset \dots \subset I_n \subset \dots$

Por el Noetherian de la propiedad, esta cadena se estabiliza. El ideal que se estabiliza a es máxima, o bien mediante la construcción hubiéramos elegido un ideal correctamente que la contiene para tener éxito en la cadena.

También tenga en cuenta que por el lema de Zorn argumento, todos los que no sean cero anillo tiene un ideal maximal. Lo clave aquí es que para Noetherian anillos usted no necesita el lema de Zorn.

EDITAR: Se me informó que este argumento utiliza el axioma de dependiente de la elección, así que voy a volver a escribir aquí para hacer esto en claro.

El axioma de la dependiente de la elección indica que, para cualquier conjunto no vacío $X$ y cualquier entero binario relación $T$$X$, existe una secuencia $(x_n)$ tal que para todo $n \geq 0$, $x_n T x_{n+1}$. Una relación binaria $T$ $X$ es completa si para todas las $x \in X$ existe $y \in X$ tal que $xTy$.

Deje $X$ ser el conjunto de todas adecuada ideales de un valor distinto de cero noetherian anillo de $R$. Desde $R \neq 0$, $X$ es no vacío. Considerar el binario relación "<" de estrictos de inclusión. Si $R$ no tiene máximos ideales, entonces "<" está todo. Así que por el axioma de la dependiente de la elección, si $R$ no tiene máximos ideales, entonces podemos elegir una secuencia $(x_n)$ tal que

$x_1 < x_2 < \dots < x_n < \dots$

Esto contradice la Noetherian de la propiedad. Por lo tanto $R$ tiene un ideal maximal.