cómo evaluar $\int \ln (\sqrt{e^x+\sin x}) dx$

Question

Soy novato aquí, cómo evaluar $$\int \ln (\sqrt{e^x+\sin x}) dx$$ traté de usar integración por partes pero no funcionó.

Answer 1

Esta no es una respuesta pero es demasiado largo para un comentario.

Como ya se ha dicho en las respuestas y comentarios, no creo que hay alguna esperanza para conseguir una forma cerrada de la expresión de la antiderivada.

Sin embargo, suponiendo que usted necesita para calcular el valor de la integral sobre un intervalo pequeño, se podría ampliar el integrando como una serie de Taylor. Este no es el más fácil de trabajar, pero, al final, se podría obtener $$\log \left(\sqrt{e^x+\sin (x)}\right)=x-\frac{3 x^2}{4}+\frac{5 x^3}{6}-\frac{25 x^4}{24}+\frac{17 x^5}{12}-\frac{361 x^6}{180}+\frac{184 x^7}{63}-\frac{1459 x^8}{336}+\frac{59497 x^9}{9072}-\frac{758203 x^{10}}{75600}+O\left(x^{11}\right)$$ So $$\int_0^a\log \left(\sqrt{e^x+\sin (x)}\right)\,dx=\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{4}+\frac{5^4}{24}-\frac{5^5}{24}+\frac{17 a^6}{72}-\frac{361 a^7}{1260}+\frac{23 de^8}{63}-\frac{1459^9}{3024}+\frac{59497 un^{10}}{90720}-\frac{758203 a^{11}}{831600}+O\left(a^{12}\right)$$

Tratemos de $a=\frac{1}{10}$. La fórmula anterior da $$\frac{594880155859783}{124740000000000000}\approx 0.00476896068510328$$ while an accurate numerical integration would lead to $$0.00476896068623222$$ The results become worse and worse (not to say more) when $un$ increases. For example, if $a=\frac 12$, the above formula gives $$\frac{261574073}{2554675200}\approx 0.102390344181523$$ while numerical integration would lead to $$0.102574149117685$$

Seguramente, usted podría añadir más términos en la expansión, pero esto no va a cambiar el problema.

Editar

Mirando el gráfico de $\log \left(\sqrt{e^x+\sin (x)}\right)$ difiere de la trama de $\frac x 2$, principalmente por $0<x<2\pi$. Así que, para cualquier valor de $a >2\pi$, podemos aproximar el valor de la integral por $$I=\int_0^a\log \left(\sqrt{e^x+\sin (x)}\right)\,dx=\int_0^{2\pi} \Big(\log \left(\sqrt{e^x+\sin (x)}\right)-\frac x 2\Big)\,dx+\frac {a^2}4$$ that is to say, more or less,$$I\approx\frac {a^2}4+0.222885$$

Answer 2

No hay ninguna forma cerrada para esta integral por lo que cualquier técnica que utilice no funciona.

Edit: Como ya ha proporcionado un rango que podría evaluar la integral definida a través de numerial técnicas tales como el trapecio, regla o similar. Sin embargo la determinación de la integral indefinida no es la manera de evaluar este problema.

La alta precisión de la aplicación del trapecio reglas da una integral definida (de 0 a 6) de: $8.86445077465226...$